Matemática, 11–13 anos — 127 tópicos · MyLeoNes™ Kuks
127 tópicos de matemática escritos para 11–13 anos — não é um texto de mais velhos simplificado. Por ordem de ensino, cada um um baralho de cinco cartões: a ideia, porque existe, um exemplo resolvido, a armadilha comum e onde aparece.
Matemática · 11–13 anos
As etapas para resolver um problema
Interpretar, escolher e executar uma estratégia e avaliar o resultado no contexto — e ver que um problema se resolve de vários modos.
Conjeturar, testar e justificar
Descobrir um padrão, formular uma conjetura e perceber que testar casos não é validar — com contraexemplos e outras formas de justificar.
Pensamento computacional: decompor, ver padrões, criar um algoritmo
Ficar com o essencial, partir um problema em passos mais fáceis, aproveitar padrões, escrever um algoritmo passo a passo e depurá-lo — com números a sério.
Comunicar, representar e ligar a matemática ao mundo
Dizer a mesma ideia com palavras, diagramas, números e símbolos, explicar o teu raciocínio, ligar temas entre si e usar a matemática como modelo de situações reais.
Múltiplos e divisores de um número natural
Divisores e múltiplos e como se relacionam: resto zero, divisores em número finito, múltiplos sem fim.
Números primos menores que 100
Os primos são os números com apenas dois divisores: descobre os 25 menores que 100 e usa-os para resolver problemas.
Potências: base, expoente e potências de base 10
A potência como produto de fatores iguais: base e expoente, potências de base 10 e porque é que multiplicar sempre o mesmo número cresce tão depressa.
Frações equivalentes e percentagens
Duas frações podem representar a mesma quantidade, e uma percentagem é só uma fração de denominador 100.
Comparar e ordenar frações e decimais
Escolher uma boa estratégia para dizer qual de dois números é maior e para os marcar na reta numérica.
Valores aproximados e arredondamentos
Aproximar um numeral decimal às centésimas: por defeito, por excesso e por arredondamento.
Somar e subtrair frações
Adicionar e subtrair frações quando um denominador é múltiplo do outro, com cálculo mental e estimativa.
Multiplicar uma fração por um número natural
Multiplicar uma fração por um número natural é somar essa fração várias vezes, ou tomar essa parte de uma quantidade.
Multiplicar decimais
Multiplica como se não houvesse vírgulas e depois volta a pôr a vírgula: o produto tem tantas casas decimais como os dois fatores juntos.
Dividir decimais
Dividir por 0,1, 0,01 ou 0,001 é multiplicar por 10, 100 ou 1000, e as outras divisões com decimais transformam-se em divisões de naturais.
Cálculo mental com decimais e razoabilidade
Escolhe o caminho mais curto para calcular decimais de cabeça e usa uma estimativa para perceber se um resultado faz sentido.
Sequências e leis de formação
Uma lei de formação constrói uma lista de números ou figuras, e as melhores ligam logo a ordem de um termo ao próprio termo.
Descrever relações com letras
Uma letra guarda o lugar de um número, e por isso uma expressão curta diz o que tem em comum um conjunto inteiro de números ou uma relação inteira.
Valor de expressões e expressões equivalentes
Troca-se a letra por um número para achar o valor, e vê-se que duas expressões com aspeto diferente podem contar a mesma história.
Da pergunta aos dados: o quê, onde e como recolher
Uma questão estatística tem respostas que variam; antes de recolher, decides que dados precisas, onde os obter, a quem perguntar e se as pessoas respondem em público ou em segredo.
Questionários e tabelas de frequências
Constrói um questionário com questões fechadas e organiza as respostas numa tabela com frequências absolutas e relativas (em percentagem).
Gráficos de barras e gráficos circulares
Transforma uma tabela de frequências em barras ou num gráfico circular, com escala honesta, título, fonte e legenda, e compara dois grupos lado a lado.
Ler criticamente gráficos dos media
Os mesmos dados podem parecer muito diferentes conforme a escala e o tipo de gráfico; verifica o eixo, a fonte e se o gráfico serve a história.
A média: distribuir o total por igual
A média é o valor que cada dado teria se o total fosse repartido por igual, e reage a cada um dos dados.
Moda ou média? Resumir dados
Categorias só têm moda; números têm moda e média, e é a questão do estudo que decide qual usar.
Ler os dados, concluir e contar o estudo
Ler um gráfico com cuidado, concluir só o que os dados sustentam, colocar a pergunta seguinte e contar a história num poster digital.
Probabilidade: quão convencidos estamos?
Uma probabilidade diz quão convencidos estamos de que algo vai acontecer, de 0% a 100%, e pode estimar-se com uma frequência relativa.
Retas, semirretas, segmentos de reta e posição relativa de retas
Distingue reta, semirreta e segmento de reta, e diz se duas retas são paralelas, concorrentes, perpendiculares ou oblíquas.
Ângulos: amplitude, grau, transferidor e construção
Mede um ângulo em graus com o transferidor, classifica-o, estima-o a partir de 45°, 90° e 180° e constrói um.
Triângulos: classificação, lados e ângulos, construção e congruência
Classifica triângulos pelos lados e pelos ângulos, liga lados a ângulos e sabe quando um triângulo se pode construir e quando dois são congruentes.
Figuras equivalentes e área do paralelogramo
Mesma área, formas diferentes: corta e muda pedaços de sítio para ver porque é que o paralelogramo tem área base × altura.
Área do triângulo e alturas de um triângulo
O triângulo é metade de um paralelogramo: área = base × altura ÷ 2, com três alturas e uma posição que depende do tipo de triângulo.
Prismas: faces paralelas e perpendiculares
Descobre as faces paralelas e perpendiculares de um prisma e vê porque é que todo o cubo é também um paralelepípedo retângulo e um prisma reto.
Regularidades nas faces, arestas e vértices dos poliedros
Conta, descobre uma regularidade, escreve-a com uma letra, testa-a e explica porque funciona.
Planificações de poliedros
Abre um sólido no plano, volta a dobrá-lo e vê que o mesmo sólido pode ter várias planificações.
Resolver um problema por etapas
As mesmas etapas, agora com frações de um todo que não se vê: interpretar, comparar estratégias, avaliar o resultado — e formular problemas teus.
Da conjetura à justificação
Classificar, descobrir uma regularidade, formular uma conjetura e distinguir testar de validar — com contraexemplos, exaustão e exemplos genéricos.
Decompor, reconhecer padrões e depurar
Guardar o essencial, partir em passos, reutilizar um padrão, escrever um algoritmo — e caçar o erro com o caso esquisito.
Comunicar, representar e ligar
Uma ideia em palavras, diagrama, tabela e símbolos; explicar o teu raciocínio e responder a um argumento — e ver a mesma matemática em sumos, rosáceas e inquéritos.
Decomposição em fatores primos: cada número em tijolos primos
Parte um número em fatores primos, com uma árvore ou por divisões sucessivas, e descobre porque só há uma maneira de o fazer.
Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum
Calcula o m.m.c. e o m.d.c. de dois números com listas ou com fatores primos, escolhe o método mais rápido e usa-os para resolver problemas.
Multiplicar e dividir potências: as regras
Mesma base: somam-se ou subtraem-se os expoentes. Mesmo expoente: multiplicam-se ou dividem-se as bases. E porque é que contar fatores o prova.
A fração como medida e a fração irredutível
Uma fração mede uma parte em relação a uma unidade, e de todos os seus nomes equivalentes a irredutível é o mais curto.
Somar e subtrair frações reduzindo ao mesmo denominador
Quando nenhum denominador divide o outro, procura um novo tamanho de parte que sirva aos dois e só então soma ou subtrai os numeradores.
Multiplicar frações e potências de base fracionária
Uma fração de uma fração é um produto, e repetir a mesma fração como fator dá uma potência como (2/3)³.
Números inversos e divisão de frações
Dois números são inversos quando o produto é 1, e dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso.
Expressões numéricas: da situação ao valor
Escrever uma situação como expressão numérica e calculá-la com parênteses, potências e a prioridade das operações.
Propriedades das operações: calcular mais depressa
Trocar, agrupar e decompor números com as propriedades comutativa, associativa e distributiva, e ajuizar qual é a estratégia mais simples.
Cálculo mental com frações
Somar e multiplicar frações mais depressa, trocando e agrupando os termos, sem reduzir sempre ao mesmo denominador.
Sequências decrescentes e leis de formação
Numa sequência decrescente cada termo é menor do que o anterior, e a lei aparece quando olhas para como cada termo nasce do anterior ou da sua ordem.
Proporcionalidade direta: uma relação multiplicativa
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando multiplicar uma por um número multiplica a outra pelo mesmo número, e por isso um par conhecido abre todos os outros.
Razão, proporção e constante de proporcionalidade
Uma razão compara duas quantidades com uma fração, uma proporção diz que duas razões são iguais, e a constante de proporcionalidade é a razão que nunca muda.
Propriedades das operações escritas com letras
As propriedades da adição e da multiplicação valem para quaisquer números, por isso uma expressão com letras diz todas de uma vez e ajuda a completar igualdades.
Medir em vez de contar: questões e recolha de dados contínuos
Alturas, tempos e pesos medem-se e não se contam: aprende a formular a questão, a decidir o que, onde e a quem recolher e a guardar cada valor medido numa lista.
Classes de igual amplitude e a tabela de frequências
Quando quase cada valor medido aparece uma só vez, agrupam-se em classes [a ; b[ de igual amplitude e organizam-se numa tabela de frequências absolutas e relativas.
Histograma e gráfico de linha
O histograma mostra como se distribuem valores agrupados em classes; o gráfico de linha mostra como um valor evolui com o tempo. Ambos precisam de escala, título, fonte e legenda.
Ler gráficos com olho crítico e escolher o gráfico certo
Os mesmos dados podem dar desenhos diferentes: aprende a comparar gráficos dos media, a ver o que as escolhas escondem e a justificar o gráfico que tu escolhes.
A classe modal e a escolha da medida de resumo
Quando os dados estão em classes, a moda passa a ser a classe modal, e é a natureza dos dados que decide que medida de resumo é honesta.
Dos dados à conclusão, ao relatório e ao infográfico
Ler a distribuição, tirar uma conclusão com números, decidir, perguntar mais, e contar tudo isso num relatório e num infográfico rigoroso.
Igual possibilidade, probabilidades iguais
Nem todas as situações aleatórias têm resultados com igual possibilidade; quando têm, as suas probabilidades são iguais, e uma experiência ajuda a decidir.
Polígonos: côncavos ou convexos, regulares ou irregulares
Distingue polígonos côncavos de convexos e regulares de irregulares, e usa o perímetro para resolver problemas com eles.
Circunferência e círculo: perímetro, π e área
Descobre que o perímetro da circunferência é diretamente proporcional ao diâmetro, com constante π, e usa P = π × d e A = π × r² em problemas.
Ângulos complementares e suplementares
Dois ângulos que somam 90° são complementares e dois que somam 180° são suplementares; a soma mantém-se, mesmo que as partes mudem.
Triângulos: soma dos ângulos internos e externos
Conjetura, a partir de recortes, que os ângulos internos somam 180° e os externos 360°, explica porquê e usa isso em problemas com triângulos.
Volume: o que é e como se mede
O volume é o espaço que um objeto ocupa: mede-se contando unidades, e a unidade que escolhes muda o número.
Volume do paralelepípedo e do cubo
Enche uma caixa camada a camada e conta os cubos unitários: comprimento × largura × altura e, no cubo, aresta × aresta × aresta.
Volume do cilindro e de sólidos decomponíveis
Um cilindro é uma pilha de círculos iguais, por isso o volume é a área da base vezes a altura; depois somam-se as partes de um sólido maior.
Rodar um ponto e uma figura em torno de um centro
Rodar um ponto, um triângulo ou um quadrilátero em torno de um centro, com um ângulo e um sentido dados, usando régua, compasso e transferidor.
Rosáceas: simetrias de rotação e eixos
Descobrir o ângulo mínimo de rotação de uma rosácea, ligá-lo ao número de eixos de simetria e construir uma rosácea por rotações sucessivas.
Resolver um problema: da tabela à equação
As mesmas três etapas, agora com uma incógnita a que podes dar uma letra: compara uma tabela com uma equação e confronta sempre a resposta com a situação.
Conjeturar, testar e justificar com letras
De um padrão a uma afirmação: testá-la, distinguir testar de validar e justificá-la com letras ou deitá-la abaixo com um contraexemplo.
Pensamento computacional com sequências
Abstrair, decompor, reconhecer um padrão, escrever um algoritmo e depurá-lo, tudo numa só pergunta: este número é termo da sequência?
Representar, modelar e ligar ideias
Uma relação contada em palavras, tabela, gráfico e símbolos; um modelo construído com medições; e um retângulo que liga geometria, números e álgebra.
Números inteiros: os negativos na reta numérica
Ver os números negativos como o outro lado do zero, colocá-los na reta numérica, ordená-los e conhecer ℤ.
Valor absoluto e simétrico de um número
Medir a que distância do zero está um número e encontrar o número que fica do outro lado, à mesma distância.
Somar e subtrair números inteiros
Somar andando na reta numérica, transformar toda a subtração numa adição e saber que propriedades se mantêm.
Expressões numéricas com inteiros e problemas
Escrever, simplificar e calcular expressões com parênteses e sinais menos, escolher um caminho eficiente e resolver problemas.
O que é um número racional, e o conjunto ℚ
Um número racional é um inteiro sobre um inteiro diferente de zero, positivo ou negativo; ℚ inclui os inteiros e as frações e os decimais que já conheces, agora com sinal.
Números racionais na reta numérica: comparar e ordenar
Cada número racional tem o seu lugar na reta numérica, e quanto mais à direita, maior: é assim que se comparam e ordenam frações, decimais e negativos juntos.
Adicionar e subtrair números racionais
Os números racionais somam-se e subtraem-se com as regras dos inteiros, em fração ou em decimal; subtrair é somar o simétrico, e as propriedades da adição encurtam o cálculo mental.
Percentagens: a parte, o todo e a percentagem
Três números ligados — parte, todo e percentagem — e, conhecendo dois, encontra-se o terceiro.
Problemas com percentagens: descontos, aumentos e mais de 100%
Transformar um desconto ou um aumento numa única percentagem do valor inicial e explicar o método para que outros o possam conferir.
Notação científica: números muito grandes, escritos em curto
Escrever um número grande como um número de 1 a menos de 10 vezes uma potência de 10, e depois compará-lo e operar com ele.
Sequências de números racionais e termo geral
Com negativos, decimais e frações na lista, a lei continua a nascer do salto entre termos, e o termo geral dá qualquer termo diretamente a partir da ordem.
Equações do 1.º grau: reconhecer e traduzir
Uma equação pergunta para que valor da incógnita uma igualdade é verdadeira, e escrever uma situação como equação é o primeiro passo para a resolver.
Resolver equações do 1.º grau e problemas
Resolver é desfazer operações nos dois membros sem mudar a solução, e depois confirmar que a resposta faz sentido na história.
Funções: cada objeto tem uma só imagem
Uma função é uma correspondência em que cada objeto do conjunto de partida fica ligado a uma só imagem, e a mesma função pode aparecer em setas, tabela, expressão ou gráfico.
Gráficos: descrever e modelar situações
Ler um gráfico da esquerda para a direita conta a história de duas variáveis; modelar faz o caminho contrário, da situação para a função que a descreve.
Proporcionalidade direta como função
Uma função de proporcionalidade direta é y = k × x com um domínio: a tabela, o gráfico (pontos numa reta pela origem) e a expressão contam a mesma história.
Que tipo de variável é? Nominal, ordinal, discreta ou contínua
Separa o que varia numa questão estatística em quatro tipos, e escolhe a questão e a precisão que dão os dados de que precisas.
População e amostra: a quem perguntar e como escolher
Distingue o grupo todo sobre que queres saber da parte que realmente estudas, e planeia um sorteio que faça a amostra representá-lo.
Definir, recolher e limpar os dados
Decide exatamente o que registar e como, recolhe de uma fonte credível e depois ordena os valores e verifica os inesperados antes de os usares.
Agrupar dados contados em classes: a tabela de frequências
Quando os valores contados são muito dispersos e quase nenhum se repete, agrupa-os em classes de igual amplitude e organiza-os numa tabela de frequências com título.
Dois conjuntos de dados no mesmo gráfico
Comparar dois conjuntos de dados com um gráfico de linhas (o tempo num dos eixos) ou com barras sobrepostas, numa escala justa, com título, fonte e legenda, e justificar o gráfico escolhido.
Do estudo à notícia: concluir, comunicar e desconfiar
Acabar um estudo com uma conclusão, uma decisão e uma nova questão, contar a sua história ao público certo sem enganar, e fazer as mesmas perguntas a um estudo que aparece na notícia.
Mediana e amplitude: onde está o centro e quão espalhados estão os dados
A mediana diz onde está o centro dos dados e a amplitude diz quão espalhados estão; aprende a calcular as duas, a ver como um valor atípico as move e a escolher a medida que serve os dados.
Probabilidade de um acontecimento com vários resultados
Dado um modelo de probabilidades, a probabilidade de um acontecimento com vários resultados é a soma das probabilidades desses resultados, mesmo quando não têm igual possibilidade.
Ângulos internos e externos de um polígono convexo
De onde vêm as somas (n − 2) × 180° e 360°, e como usá-las para descobrir um ângulo que falta.
Ângulos alternos internos e ângulos verticalmente opostos
Que ângulos são iguais quando duas retas se cruzam e quando uma secante corta duas paralelas, e porquê.
As diagonais de um quadrilátero e as suas propriedades
O que é uma diagonal e o que cada tipo de quadrilátero faz com as suas duas: cortar-se ao meio, ser iguais, cruzar-se em ângulo reto.
Classificação hierárquica dos quadriláteros e como a explicar
Trapézio, paralelogramo, retângulo, losango, quadrado e papagaio como famílias dentro de famílias, e como dizer porque é que uma figura pertence a cada uma.
Áreas do trapézio, do losango e do papagaio
Deduz as fórmulas das áreas do trapézio, do losango e do papagaio a partir de triângulos e paralelogramos que já conheces.
Figuras semelhantes, razão de semelhança e homotetia
Reconhece figuras com a mesma forma, calcula a razão de semelhança, constrói ampliações e reduções por homotetia e lê escalas de mapas.
Critérios de semelhança de triângulos
Descobre que bastam dois ângulos para garantir triângulos semelhantes, conhece os outros dois critérios, evita aplicá-los mal e usa-os para calcular medidas.
Razões entre perímetros e entre áreas de figuras semelhantes
O perímetro multiplica por k e a área por k²: descobre porquê e usa-o em plantas, ampliações e problemas.
Poliedros regulares e irregulares: modelos e planificações
Dois testes distinguem um poliedro regular de um irregular; depois vai-se da planificação ao sólido e vice-versa.
Porque só existem cinco poliedros regulares
Soma os ângulos num canto e vê, polígono a polígono, que poliedros regulares podem existir.
Faces, arestas, vértices e a fórmula de Euler
Conta muitos poliedros, descobre o que nunca muda e usa-o para conferir as tuas contagens.
As fracções como números
Vê uma fracção como um número com um lugar na recta numérica, e não apenas como uma parte de um bolo.
Razões
Compara quantidades de forma justa, acompanhando quantas partes de uma coisa correspondem a outra.
Percentagens
Uma percentagem exprime uma quantidade em partes de cem, tornando as comparações mais fáceis.
Equações lineares
Usa um número desconhecido e mantém o equilíbrio para descobrir o que uma afirmação realmente diz.
Números negativos
Os números abaixo de zero ajudam a descrever quantidades que vão no sentido oposto ao da contagem habitual.
Potências e raízes quadradas
As potências repetem uma multiplicação, enquanto as raízes quadradas desfazem um quadrado.
Teorema de Pitágoras
Num triângulo retângulo, os comprimentos dos três lados seguem uma relação segura entre quadrados.
Probabilidade
A probabilidade mede a possibilidade de um acontecimento quando conhecemos os resultados possíveis.
O plano cartesiano
Uma forma de dar a cada ponto numa superfície plana uma posição exacta usando dois números.
Ângulos num triângulo
Os três ângulos interiores de qualquer triângulo somam sempre um ângulo raso.
A área de um triângulo
Como medir a quantidade de espaço plano dentro de um triângulo.
A média aritmética
Um número que representa vários valores ao repartir o seu total de forma igual.
Valor posicional dos números decimais
Compreender o valor de cada algarismo depois da vírgula e usar esse valor para comparar, arredondar e calcular com números decimais.
Perímetro
Encontrar a distância à volta de uma figura somando os comprimentos dos lados e compreender por que razão figuras diferentes podem ter o mesmo perímetro.
Volume de paralelepípedos rectângulos
Medir o espaço que um sólido com forma de caixa contém, contando camadas iguais de cubos e multiplicando as suas três dimensões.
Desenhos à escala
Usar uma relação fixa entre um desenho e o objecto real para ler mapas, plantas e modelos sem perder as distâncias verdadeiras.
Fatorização prima
A fatorização prima separa um número inteiro nos números primos que, multiplicados, o formam. Dá a cada número uma espécie de impressão digital útil para comparar, simplificar e organizar números.
Expressões algébricas
Uma expressão algébrica usa letras e números para descrever um cálculo cujo valor pode mudar. Aprender a lê-la e simplificá-la torna mais fácil calcular e explicar uma situação que muda.
Desigualdades
Uma desigualdade compara quantidades quando elas não têm necessariamente o mesmo valor. Ajuda a descrever limites, intervalos e escolhas, como um saco que pesa no máximo 7 quilogramas ou uma pontuação acima de 100.
Circunferência de um círculo
A circunferência é a distância à volta de um círculo. Está ligada ao diâmetro do círculo pela constante π, por isso podes encontrar a distância exterior sem medir cada ponto da curva.
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