Sequências e leis de formação — Matemática, 11–13
Uma lei de formação constrói uma lista de números ou figuras, e as melhores ligam logo a ordem de um termo ao próprio termo.
Uma lei que faz crescer a lista
Uma sequência é uma lista de termos que segue uma lei de formação. A lei pode dizer como passar de um termo para o seguinte: 0,5; 1,5; 4,5; 13,5… (multiplica-se por 3 de cada vez). Ou pode dar o termo a partir da sua ordem: em 3, 6, 9, 12… o termo de ordem n é 3 × n, por isso o de ordem 5 é 15. Para criares uma sequência, escolhe o primeiro termo e a lei: começa em 2 e soma 5 de cada vez, e ficas com 2, 7, 12, 17… Uma lei também preenche falhas: em 3, 6, ?, 12 o termo que falta é 9.
Saltar direto para o termo que queres
Se só souberes «soma 3 ao termo anterior», para achar o termo de ordem 50 tens de fazer 49 somas seguidas. Uma regra que liga a ordem ao termo dá-te o 50.º de uma vez. E podes justificá-la olhando para a figura: numa fila de quadrados feitos com fósforos, a figura 1 tem 4 fósforos e cada quadrado novo acrescenta 3 (em cima, em baixo e à direita). Fica 1 fósforo do lado esquerdo do primeiro quadrado e n grupos de 3: 3 × n + 1.
A figura 20 e o número 100
Regra: a figura n tem 3 × n + 1 fósforos (figuras 1, 2, 3: 4, 7, 10). Figura 20? 3 × 20 = 60 e 60 + 1 = 61 fósforos, sem calcular as 19 figuras anteriores. O 100 é termo? Desfaz a regra: 100 − 1 = 99 e 99 ÷ 3 = 33, um número natural, por isso sim: é a figura 33. E o 50? 50 − 1 = 49 e 49 ÷ 3 dá 16 e sobra 1, não é natural: o 50 não é termo desta sequência.
O dobro da ordem não dá o dobro do termo
A figura 2 tem 7 fósforos. Quantos terá a figura 4? Muita gente pensa «a ordem duplicou, o termo também» e responde 14. É um erro razoável, porque resulta quando a regra é só 3 × n, mas aqui a regra é 3 × n + 1 e o «+ 1» não duplica: 3 × 4 + 1 = 13. Confirma pela figura 3: 10 + 3 = 13. Antes de confiares numa regra, testa-a nos termos que já conheces: 3 × 1 + 1 = 4, 3 × 2 + 1 = 7, 3 × 3 + 1 = 10.
Vedações, folhas de cálculo e programas
As sequências aparecem sempre que algo cresce por passos, sempre da mesma maneira: numa vedação reta, n troços precisam de n + 1 postes. Numa folha de cálculo escreves a regra uma vez e arrastas para baixo, para teres tantos termos quantos quiseres. No Scratch, um ciclo «repete 10 vezes: soma 3» constrói os 10 termos de uma sequência, e mudar a regra muda a lista toda de uma vez.
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