Suites et lois de formation — Mathématiques, 11–13
Une loi de formation construit une liste de nombres ou de figures, et les meilleures relient directement le rang d'un terme au terme lui-même.
Une loi qui fait grandir la liste
Une suite est une liste de termes qui suit une loi de formation. La loi peut dire comment passer d'un terme au suivant : 0,5 ; 1,5 ; 4,5 ; 13,5… (on multiplie par 3 à chaque fois). Ou bien elle donne le terme à partir de son rang : dans 3, 6, 9, 12… le terme de rang n est 3 × n, donc celui de rang 5 est 15. Pour créer une suite, choisis un premier terme et une loi : pars de 2 et ajoute 5 à chaque fois, tu obtiens 2, 7, 12, 17… Une loi comble aussi les trous : dans 3, 6, ?, 12 le terme manquant est 9.
Sauter directement au terme voulu
Si tu sais seulement « ajoute 3 au terme précédent », pour trouver le terme de rang 50 il faut faire 49 additions à la suite. Une règle qui relie le rang au terme te donne le 50e d'un coup. Et tu peux la justifier en regardant la figure : dans une rangée de carrés faits avec des allumettes, la figure 1 a 4 allumettes et chaque nouveau carré en ajoute 3 (en haut, en bas et à droite). Il reste 1 allumette à gauche du premier carré et n groupes de 3 : 3 × n + 1.
La figure 20 et le nombre 100
Règle : la figure n a 3 × n + 1 allumettes (figures 1, 2, 3 : 4, 7, 10). Figure 20 ? 3 × 20 = 60 et 60 + 1 = 61 allumettes, sans calculer les 19 figures d'avant. 100 est-il un terme ? Défais la règle : 100 − 1 = 99 et 99 ÷ 3 = 33, un entier, donc oui : c'est la figure 33. Et 50 ? 50 − 1 = 49 et 49 ÷ 3 donne 16 reste 1, pas un entier : 50 n'est pas un terme de cette suite.
Le double du rang ne donne pas le double du terme
La figure 2 a 7 allumettes. Combien en aura la figure 4 ? Beaucoup pensent « le rang a doublé, le terme aussi » et répondent 14. C'est une erreur raisonnable, car cela marche quand la règle est seulement 3 × n, mais ici la règle est 3 × n + 1 et le « + 1 » ne double pas : 3 × 4 + 1 = 13. Vérifie avec la figure 3 : 10 + 3 = 13. Avant de te fier à une règle, teste-la sur les termes que tu connais : 3 × 1 + 1 = 4, 3 × 2 + 1 = 7, 3 × 3 + 1 = 10.
Clôtures, tableurs et programmes
Les suites apparaissent dès que quelque chose grandit par étapes, toujours de la même façon : le long d'une clôture droite, n sections demandent n + 1 poteaux. Dans un tableur, tu écris la règle une fois et tu la tires vers le bas pour avoir autant de termes que tu veux. Dans Scratch, une boucle « répéter 10 fois : ajouter 3 » construit les 10 termes d'une suite, et changer la règle change toute la liste d'un coup.
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