Folgen und Bildungsregeln — Mathematik, 11–13
Eine Bildungsregel erzeugt eine Liste von Zahlen oder Figuren, und die besten Regeln führen direkt von der Platznummer zum Glied.
Eine Regel, die die Liste wachsen lässt
Eine Folge ist eine Liste von Gliedern, die einer Bildungsregel folgt. Die Regel kann sagen, wie man vom einen Glied zum nächsten kommt: 0,5; 1,5; 4,5; 13,5… (jedes Mal mal 3). Oder sie liefert das Glied aus seiner Platznummer: In 3, 6, 9, 12… ist das Glied an Platz n gleich 3 × n, also ist das an Platz 5 die 15. Um selbst eine Folge zu erfinden, wähle ein erstes Glied und eine Regel: Starte bei 2 und addiere jedes Mal 5, dann bekommst du 2, 7, 12, 17… Eine Regel füllt auch Lücken: In 3, 6, ?, 12 ist das fehlende Glied die 9.
Direkt zum gesuchten Glied springen
Wenn du nur „addiere 3 zum vorigen Glied“ kennst, musst du für das Glied an Platz 50 hintereinander 49 Additionen rechnen. Eine Regel, die den Platz mit dem Glied verbindet, gibt dir das 50. sofort. Und du kannst sie am Bild begründen: In einer Reihe von Quadraten aus Streichhölzern hat Figur 1 vier Hölzer, und jedes neue Quadrat bringt 3 dazu (oben, unten, rechts). Es bleibt 1 Holz links vom ersten Quadrat und n Dreiergruppen: 3 × n + 1.
Figur 20 und die Zahl 100
Regel: Figur n hat 3 × n + 1 Hölzer (Figuren 1, 2, 3: 4, 7, 10). Figur 20? 3 × 20 = 60 und 60 + 1 = 61 Hölzer, ohne die 19 Figuren davor auszurechnen. Ist 100 ein Glied? Mach die Regel rückgängig: 100 − 1 = 99 und 99 ÷ 3 = 33, eine natürliche Zahl, also ja: Es ist Figur 33. Und 50? 50 − 1 = 49 und 49 ÷ 3 ist 16 Rest 1, keine natürliche Zahl: 50 ist kein Glied dieser Folge.
Doppelter Platz heißt nicht doppeltes Glied
Figur 2 hat 7 Hölzer. Wie viele hat Figur 4? Viele denken „der Platz hat sich verdoppelt, das Glied auch“ und antworten 14. Das ist ein verständlicher Fehler, denn es stimmt, wenn die Regel nur 3 × n lautet, aber hier lautet sie 3 × n + 1, und das „+ 1“ verdoppelt sich nicht: 3 × 4 + 1 = 13. Prüfe mit Figur 3: 10 + 3 = 13. Bevor du einer Regel traust, teste sie an den bekannten Gliedern: 3 × 1 + 1 = 4, 3 × 2 + 1 = 7, 3 × 3 + 1 = 10.
Zäune, Tabellenkalkulation und Programme
Folgen tauchen immer auf, wenn etwas schrittweise und immer auf dieselbe Weise wächst: An einem geraden Zaun brauchen n Abschnitte n + 1 Pfosten. In einer Tabellenkalkulation schreibst du die Regel einmal und ziehst sie nach unten, um beliebig viele Glieder zu bekommen. In Scratch baut eine Schleife „wiederhole 10-mal: addiere 3“ die 10 Glieder einer Folge, und wer die Regel ändert, ändert die ganze Liste auf einmal.
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