Successioni e leggi di formazione — Matematica, 11–13
Una legge di formazione costruisce una lista di numeri o figure, e le migliori collegano subito il posto di un termine al termine stesso.
Una legge che fa crescere la lista
Una successione è una lista di termini che segue una legge di formazione. La legge può dire come passare da un termine al successivo: 0,5; 1,5; 4,5; 13,5… (si moltiplica per 3 ogni volta). Oppure può dare il termine a partire dal suo posto: in 3, 6, 9, 12… il termine di posto n è 3 × n, quindi quello di posto 5 è 15. Per creare una successione, scegli il primo termine e la legge: parti da 2 e somma 5 ogni volta, e ottieni 2, 7, 12, 17… Una legge riempie anche i buchi: in 3, 6, ?, 12 il termine mancante è 9.
Saltare subito al termine che vuoi
Se sai solo «somma 3 al termine precedente», per trovare il termine di posto 50 devi fare 49 addizioni di fila. Una regola che collega il posto al termine ti dà il 50º in un colpo solo. E puoi giustificarla guardando la figura: in una fila di quadrati fatti con fiammiferi, la figura 1 ha 4 fiammiferi e ogni nuovo quadrato ne aggiunge 3 (sopra, sotto e a destra). Resta 1 fiammifero a sinistra del primo quadrato e n gruppi da 3: 3 × n + 1.
La figura 20 e il numero 100
Regola: la figura n ha 3 × n + 1 fiammiferi (figure 1, 2, 3: 4, 7, 10). Figura 20? 3 × 20 = 60 e 60 + 1 = 61 fiammiferi, senza calcolare le 19 figure precedenti. Il 100 è un termine? Disfa la regola: 100 − 1 = 99 e 99 ÷ 3 = 33, un numero naturale, quindi sì: è la figura 33. E il 50? 50 − 1 = 49 e 49 ÷ 3 dà 16 con resto 1, non è naturale: il 50 non è un termine di questa successione.
Il doppio del posto non dà il doppio del termine
La figura 2 ha 7 fiammiferi. Quanti ne avrà la figura 4? Molti pensano «il posto è raddoppiato, quindi anche il termine» e rispondono 14. È un errore ragionevole, perché funziona quando la regola è solo 3 × n, ma qui la regola è 3 × n + 1 e il «+ 1» non raddoppia: 3 × 4 + 1 = 13. Controlla con la figura 3: 10 + 3 = 13. Prima di fidarti di una regola, provala sui termini che già conosci: 3 × 1 + 1 = 4, 3 × 2 + 1 = 7, 3 × 3 + 1 = 10.
Recinzioni, fogli di calcolo e programmi
Le successioni compaiono ogni volta che qualcosa cresce a passi, sempre allo stesso modo: lungo una recinzione dritta, n tratti richiedono n + 1 pali. In un foglio di calcolo scrivi la regola una volta e la trascini verso il basso per avere tutti i termini che vuoi. In Scratch, un ciclo «ripeti 10 volte: somma 3» costruisce i 10 termini di una successione, e cambiare la regola cambia tutta la lista in una volta.
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