Sucesiones y leyes de formación — Matemáticas, 11–13
Una ley de formación construye una lista de números o figuras, y las mejores unen directamente el orden de un término con el término.
Una ley que hace crecer la lista
Una sucesión es una lista de términos que sigue una ley de formación. La ley puede decir cómo pasar de un término al siguiente: 0,5; 1,5; 4,5; 13,5… (se multiplica por 3 cada vez). O puede dar el término a partir de su orden: en 3, 6, 9, 12… el término de orden n es 3 × n, así que el de orden 5 es 15. Para crear una sucesión, elige el primer término y la ley: empieza en 2 y suma 5 cada vez, y obtienes 2, 7, 12, 17… Una ley también rellena huecos: en 3, 6, ?, 12 el término que falta es 9.
Saltar directo al término que quieres
Si solo sabes «suma 3 al término anterior», para hallar el término de orden 50 tienes que hacer 49 sumas seguidas. Una regla que relaciona el orden con el término te da el 50.º de una vez. Y puedes justificarla mirando la figura: en una fila de cuadrados hechos con cerillas, la figura 1 tiene 4 cerillas y cada cuadrado nuevo añade 3 (arriba, abajo y a la derecha). Queda 1 cerilla a la izquierda del primer cuadrado y n grupos de 3: 3 × n + 1.
La figura 20 y el número 100
Regla: la figura n tiene 3 × n + 1 cerillas (figuras 1, 2, 3: 4, 7, 10). ¿Figura 20? 3 × 20 = 60 y 60 + 1 = 61 cerillas, sin calcular las 19 figuras anteriores. ¿Es 100 un término? Deshaz la regla: 100 − 1 = 99 y 99 ÷ 3 = 33, un número natural, así que sí: es la figura 33. ¿Y el 50? 50 − 1 = 49 y 49 ÷ 3 da 16 y sobra 1, no es natural: el 50 no es un término de esta sucesión.
El doble del orden no da el doble del término
La figura 2 tiene 7 cerillas. ¿Cuántas tendrá la figura 4? Mucha gente piensa «el orden se duplicó, el término también» y responde 14. Es un error razonable, porque funciona cuando la regla es solo 3 × n, pero aquí la regla es 3 × n + 1 y el «+ 1» no se duplica: 3 × 4 + 1 = 13. Compruébalo con la figura 3: 10 + 3 = 13. Antes de fiarte de una regla, pruébala con los términos que ya conoces: 3 × 1 + 1 = 4, 3 × 2 + 1 = 7, 3 × 3 + 1 = 10.
Vallas, hojas de cálculo y programas
Las sucesiones aparecen siempre que algo crece por pasos, siempre de la misma manera: en una valla recta, n tramos necesitan n + 1 postes. En una hoja de cálculo escribes la regla una vez y la arrastras hacia abajo para tener tantos términos como quieras. En Scratch, un bucle «repetir 10 veces: sumar 3» construye los 10 términos de una sucesión, y cambiar la regla cambia toda la lista de una vez.
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