Matemática 7.º ano: Ângulos internos e externos de um polígono convexo
Matemática, 7.º ano (Portugal): De onde vêm as somas (n − 2) × 180° e 360°, e como usá-las para descobrir um ângulo que falta.
Dentro, fora e as duas somas
Num polígono convexo, o ângulo interno de um vértice fica dentro da figura, entre dois lados consecutivos. O ângulo externo fica fora: é o ângulo entre um lado e o prolongamento do outro lado desse vértice, e escolhe-se um por vértice. No mesmo vértice, os dois são suplementares: somam 180°. Se traçares todas as diagonais a partir de um vértice, um polígono com n lados fica dividido em n − 2 triângulos, por isso os ângulos internos somam (n − 2) × 180°. Os externos somam sempre 360°.
De onde vêm as duas somas
Internos: os n − 2 triângulos ocupam o polígono todo e cada um traz 180°, por isso a soma é (n − 2) × 180°. Externos: imagina que andas à volta do polígono e viras, em cada vértice, o ângulo externo. Ao voltares ao ponto de partida estás virado para o mesmo lado: deste uma volta completa, 360°, tenha o polígono 3 ou 30 lados. As duas somas combinam: como cada interno é 180° menos o externo, a soma dos internos é n × 180° − 360°, que é o mesmo que (n − 2) × 180°.
Descobrir o ângulo que falta num pentágono
Um pentágono convexo tem quatro ângulos internos de 100°, 110°, 95° e 120°. Qual é o quinto? Soma dos internos: (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. Os quatro conhecidos somam 100 + 110 + 95 + 120 = 425°, logo o quinto mede 540 − 425 = 115°. Externos: 180 − 100 = 80°, 70°, 85°, 60° e 180 − 115 = 65°; somam 80 + 70 + 85 + 60 + 65 = 360°. Se fosse regular, cada interno mediria 540 ÷ 5 = 108° e cada externo 360 ÷ 5 = 72°.
A armadilha: n × 180° e dividir por n
Dois enganos. Um: escrever n × 180° em vez de (n − 2) × 180°. No pentágono dava 900° em vez de 540°; conta sempre os n − 2 triângulos. Dois: dividir a soma pelo número de lados para achar «o» ângulo do polígono. Isso só funciona nos regulares. No pentágono da conta anterior os ângulos são 100°, 110°, 95°, 120° e 115°, e nenhum mede 108°. E lembra que os externos não dependem do número de lados: somam 360° num triângulo e num dodecágono.
Onde vês isto
Na programação por blocos, como o Scratch, desenhas um polígono regular repetindo «anda e vira». O que viras é o ângulo externo, 360° ÷ n: 72° num pentágono, 60° num hexágono. Num chão com ladrilhos hexagonais regulares, três cantos encaixam-se num ponto sem folgas, porque 3 × 120° = 360°. E quem desenha uma planta ou uma peça usa a soma para descobrir um ângulo que não consegue medir diretamente.
Testa o que aprendeste
Num vértice de um polígono convexo, o ângulo interno mede 110°. Quanto mede o ângulo externo nesse vértice?
- a) 20°
- b) 110°
- c) 70°
- d) 250°
Resposta certa: c) 70° — Certo: 180° − 110° = 70°. No mesmo vértice, o ângulo interno e o externo são suplementares.
Quanto somam os ângulos internos de um polígono convexo com 9 lados?
- a) 1260°
- b) 1620°
- c) 1440°
- d) 1080°
Resposta certa: a) 1260° — Certo: 9 lados dão 9 − 2 = 7 triângulos, e 7 × 180° = 1260°.
A Sara diz: «Um dodecágono convexo tem mais lados do que um triângulo, por isso a soma dos seus ângulos externos (um por vértice) é maior.» O que respondes?
- a) Tem razão: mais ângulos, soma maior, tal como nos ângulos internos
- b) Só tem razão se o dodecágono for regular
- c) Está enganada: os externos somam sempre 180°
- d) Está enganada: em qualquer polígono convexo os externos somam 360°, seja qual for o número de lados
Resposta certa: d) Está enganada: em qualquer polígono convexo os externos somam 360°, seja qual for o número de lados — Certo: ao andares à volta de qualquer polígono convexo dás uma volta completa, 360°, com 3 lados ou com 12.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…