Matemáticas 7.º curso: Ángulos interiores y exteriores de un polígono convexo
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): De dónde salen las sumas (n − 2) × 180° y 360°, y cómo usarlas para hallar un ángulo que falta.
Dentro, fuera y las dos sumas
En un polígono convexo, el ángulo interior de un vértice queda dentro de la figura, entre dos lados consecutivos. El ángulo exterior queda fuera: es el ángulo entre un lado y la prolongación del otro lado de ese vértice, y se toma uno por vértice. En el mismo vértice los dos son suplementarios: suman 180°. Si trazas todas las diagonales desde un vértice, un polígono de n lados se divide en n − 2 triángulos, así que sus ángulos interiores suman (n − 2) × 180°. Los exteriores suman siempre 360°.
De dónde salen las dos sumas
Interiores: los n − 2 triángulos llenan todo el polígono y cada uno aporta 180°, así que el total es (n − 2) × 180°. Exteriores: imagina que caminas por el borde del polígono y giras, en cada vértice, el ángulo exterior. Al volver al punto de partida miras otra vez hacia el mismo lado: has dado una vuelta completa, 360°, tenga el polígono 3 lados o 30. Las dos sumas coinciden: como cada interior es 180° menos el exterior, la suma de los interiores es n × 180° − 360°, que es igual a (n − 2) × 180°.
Hallar el ángulo que falta en un pentágono
Un pentágono convexo tiene cuatro ángulos interiores de 100°, 110°, 95° y 120°. ¿Cuánto mide el quinto? Suma de los interiores: (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. Los cuatro conocidos suman 100 + 110 + 95 + 120 = 425°, luego el quinto mide 540 − 425 = 115°. Exteriores: 180 − 100 = 80°, 70°, 85°, 60° y 180 − 115 = 65°; suman 80 + 70 + 85 + 60 + 65 = 360°. Si fuera regular, cada interior mediría 540 ÷ 5 = 108° y cada exterior 360 ÷ 5 = 72°.
La trampa: n × 180° y dividir entre n
Dos errores. Uno: escribir n × 180° en lugar de (n − 2) × 180°. En el pentágono daba 900° en vez de 540°; cuenta siempre los n − 2 triángulos. Dos: dividir la suma entre el número de lados para hallar «el» ángulo del polígono. Eso solo vale en los regulares. En el pentágono de la cuenta anterior los ángulos son 100°, 110°, 95°, 120° y 115°, y ninguno mide 108°. Y recuerda que los exteriores no dependen del número de lados: suman 360° en un triángulo y en un dodecágono.
Dónde lo ves
En la programación por bloques, como Scratch, dibujas un polígono regular repitiendo «avanza y gira». Lo que giras es el ángulo exterior, 360° ÷ n: 72° en un pentágono, 60° en un hexágono. En un suelo con baldosas hexagonales regulares, tres esquinas encajan en un punto sin huecos, porque 3 × 120° = 360°. Y quien dibuja un plano o una pieza usa la suma para hallar un ángulo que no puede medir directamente.
Pon a prueba lo que has aprendido
En un vértice de un polígono convexo, el ángulo interior mide 110°. ¿Cuánto mide el ángulo exterior en ese vértice?
- a) 20°
- b) 110°
- c) 70°
- d) 250°
Respuesta correcta: c) 70° — Correcto: 180° − 110° = 70°. En el mismo vértice, el ángulo interior y el exterior son suplementarios.
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de 9 lados?
- a) 1260°
- b) 1620°
- c) 1440°
- d) 1080°
Respuesta correcta: a) 1260° — Correcto: 9 lados dan 9 − 2 = 7 triángulos, y 7 × 180° = 1260°.
Sara dice: «Un dodecágono convexo tiene más lados que un triángulo, así que la suma de sus ángulos exteriores (uno por vértice) es mayor.» ¿Qué respondes?
- a) Tiene razón: más ángulos, suma mayor, igual que en los ángulos interiores
- b) Solo tiene razón si el dodecágono es regular
- c) Está equivocada: los exteriores suman siempre 180°
- d) Está equivocada: en cualquier polígono convexo los exteriores suman 360°, sea cual sea el número de lados
Respuesta correcta: d) Está equivocada: en cualquier polígono convexo los exteriores suman 360°, sea cual sea el número de lados — Correcto: al recorrer cualquier polígono convexo das una vuelta completa, 360°, con 3 lados o con 12.
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