Mathematik Klasse 7: Innen- und Außenwinkel eines konvexen Vielecks
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Woher die Summen (n − 2) × 180° und 360° kommen und wie du damit einen fehlenden Winkel findest.
Innen, außen und die zwei Summen
In einem konvexen Vieleck liegt der Innenwinkel an einer Ecke innerhalb der Figur, zwischen zwei benachbarten Seiten. Der Außenwinkel liegt außerhalb: Er liegt zwischen einer Seite und der Verlängerung der anderen Seite an dieser Ecke, und man nimmt einen pro Ecke. An derselben Ecke ergänzen sich die beiden zu 180°. Ziehst du von einer Ecke aus alle Diagonalen, zerfällt ein Vieleck mit n Seiten in n − 2 Dreiecke; die Innenwinkel ergeben also zusammen (n − 2) × 180°. Die Außenwinkel ergeben immer zusammen 360°.
Woher die zwei Summen kommen
Innenwinkel: Die n − 2 Dreiecke füllen das ganze Vieleck aus und jedes bringt 180° mit, also ist die Summe (n − 2) × 180°. Außenwinkel: Stell dir vor, du gehst um das Vieleck herum und drehst dich an jeder Ecke um den Außenwinkel. Am Start wieder angekommen, schaust du in dieselbe Richtung: Du hast dich einmal ganz gedreht, 360°, egal ob das Vieleck 3 oder 30 Seiten hat. Beide Summen passen zusammen: Da jeder Innenwinkel 180° minus der Außenwinkel ist, beträgt die Innenwinkelsumme n × 180° − 360°, und das ist gleich (n − 2) × 180°.
Den fehlenden Winkel im Fünfeck finden
Ein konvexes Fünfeck hat vier Innenwinkel von 100°, 110°, 95° und 120°. Wie groß ist der fünfte? Innenwinkelsumme: (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. Die vier bekannten ergeben 100 + 110 + 95 + 120 = 425°, also misst der fünfte 540 − 425 = 115°. Außenwinkel: 180 − 100 = 80°, 70°, 85°, 60° und 180 − 115 = 65°; zusammen 80 + 70 + 85 + 60 + 65 = 360°. Wäre es regelmäßig, wäre jeder Innenwinkel 540 ÷ 5 = 108° und jeder Außenwinkel 360 ÷ 5 = 72° groß.
Die Falle: n × 180° und durch n teilen
Zwei Ausrutscher. Erstens: n × 180° statt (n − 2) × 180° zu rechnen. Beim Fünfeck ergäbe das 900° statt 540°; zähl immer die n − 2 Dreiecke. Zweitens: die Summe durch die Seitenzahl zu teilen, um „den“ Winkel des Vielecks zu erhalten. Das geht nur bei regelmäßigen Vielecken. Im Fünfeck von vorhin sind die Winkel 100°, 110°, 95°, 120° und 115°, und keiner misst 108°. Und denk daran: Die Außenwinkel hängen nicht von der Seitenzahl ab; sie ergeben im Dreieck wie im Zwölfeck 360°.
Wo du das siehst
In der Blockprogrammierung, etwa mit Scratch, zeichnest du ein regelmäßiges Vieleck, indem du „gehe, dann drehe dich“ wiederholst. Um den Außenwinkel drehst du dich, 360° ÷ n: 72° beim Fünfeck, 60° beim Sechseck. Auf einem Boden aus regelmäßigen sechseckigen Fliesen treffen sich drei Ecken lückenlos in einem Punkt, denn 3 × 120° = 360°. Und wer einen Plan oder ein Bauteil zeichnet, nutzt die Summe, um einen Winkel zu finden, den er nicht direkt messen kann.
Teste, was du gelernt hast
An einer Ecke eines konvexen Vielecks misst der Innenwinkel 110°. Wie groß ist der Außenwinkel an dieser Ecke?
- a) 20°
- b) 110°
- c) 70°
- d) 250°
Richtige Antwort: c) 70° — Richtig: 180° − 110° = 70°. An derselben Ecke ergänzen sich Innen- und Außenwinkel zu 180°.
Wie groß ist die Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks mit 9 Seiten?
- a) 1260°
- b) 1620°
- c) 1440°
- d) 1080°
Richtige Antwort: a) 1260° — Richtig: 9 Seiten ergeben 9 − 2 = 7 Dreiecke, und 7 × 180° = 1260°.
Sara sagt: „Ein konvexes Zwölfeck hat mehr Seiten als ein Dreieck, also ist die Summe seiner Außenwinkel (einer pro Ecke) größer.“ Was antwortest du?
- a) Sie hat recht: mehr Winkel, größere Summe, genau wie bei den Innenwinkeln
- b) Sie hat nur recht, wenn das Zwölfeck regelmäßig ist
- c) Sie irrt sich: Die Außenwinkel ergeben immer 180°
- d) Sie irrt sich: In jedem konvexen Vieleck ergeben die Außenwinkel 360°, egal wie viele Seiten es hat
Richtige Antwort: d) Sie irrt sich: In jedem konvexen Vieleck ergeben die Außenwinkel 360°, egal wie viele Seiten es hat — Richtig: Wenn du um ein beliebiges konvexes Vieleck gehst, drehst du dich einmal ganz, 360°, mit 3 Seiten wie mit 12.
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