Mathématiques 7e année : Angles intérieurs et extérieurs d'un polygone convexe
Mathématiques, 7e année (Portugal) : D'où viennent les sommes (n − 2) × 180° et 360°, et comment les utiliser pour trouver un angle manquant.
Dedans, dehors et les deux sommes
Dans un polygone convexe, l'angle intérieur d'un sommet est à l'intérieur de la figure, entre deux côtés consécutifs. L'angle extérieur est à l'extérieur : c'est l'angle entre un côté et le prolongement de l'autre côté de ce sommet, et on en prend un par sommet. Au même sommet, les deux sont supplémentaires : ils font 180° à eux deux. Si tu traces toutes les diagonales depuis un sommet, un polygone à n côtés se découpe en n − 2 triangles ; ses angles intérieurs valent donc (n − 2) × 180° au total. Les angles extérieurs font toujours 360° au total.
D'où viennent les deux sommes
Angles intérieurs : les n − 2 triangles remplissent tout le polygone et chacun apporte 180°, donc le total est (n − 2) × 180°. Angles extérieurs : imagine que tu marches le long du polygone et que tu tournes, à chaque sommet, de l'angle extérieur. De retour au départ, tu regardes de nouveau dans la même direction : tu as fait un tour complet, 360°, que le polygone ait 3 côtés ou 30. Les deux sommes concordent : comme chaque angle intérieur vaut 180° moins l'extérieur, la somme des intérieurs est n × 180° − 360°, soit (n − 2) × 180°.
Trouver l'angle manquant d'un pentagone
Un pentagone convexe a quatre angles intérieurs de 100°, 110°, 95° et 120°. Combien mesure le cinquième ? Somme des angles intérieurs : (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. Les quatre connus font 100 + 110 + 95 + 120 = 425°, donc le cinquième mesure 540 − 425 = 115°. Extérieurs : 180 − 100 = 80°, 70°, 85°, 60° et 180 − 115 = 65° ; ils font 80 + 70 + 85 + 60 + 65 = 360°. S'il était régulier, chaque angle intérieur mesurerait 540 ÷ 5 = 108° et chaque angle extérieur 360 ÷ 5 = 72°.
Le piège : n × 180° et diviser par n
Deux erreurs. Une : écrire n × 180° au lieu de (n − 2) × 180°. Pour le pentagone, cela donnerait 900° au lieu de 540° ; compte toujours les n − 2 triangles. Deux : diviser la somme par le nombre de côtés pour trouver « l'angle » du polygone. Cela ne marche que pour les polygones réguliers. Dans le pentagone du calcul précédent, les angles sont 100°, 110°, 95°, 120° et 115°, et aucun ne mesure 108°. Et souviens-toi que les angles extérieurs ne dépendent pas du nombre de côtés : ils font 360° dans un triangle comme dans un dodécagone.
Où tu vois cela
En programmation par blocs, comme Scratch, tu dessines un polygone régulier en répétant « avance, puis tourne ». L'angle dont tu tournes est l'angle extérieur, 360° ÷ n : 72° pour un pentagone, 60° pour un hexagone. Sur un sol carrelé d'hexagones réguliers, trois coins se rejoignent en un point sans jeu, car 3 × 120° = 360°. Et celui qui dessine un plan ou une pièce utilise la somme pour trouver un angle qu'il ne peut pas mesurer directement.
Teste ce que tu as appris
En un sommet d'un polygone convexe, l'angle intérieur mesure 110°. Combien mesure l'angle extérieur en ce sommet ?
- a) 20°
- b) 110°
- c) 70°
- d) 250°
Bonne réponse: c) 70° — Exact : 180° − 110° = 70°. Au même sommet, l'angle intérieur et l'angle extérieur sont supplémentaires.
Quelle est la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe à 9 côtés ?
- a) 1260°
- b) 1620°
- c) 1440°
- d) 1080°
Bonne réponse: a) 1260° — Exact : 9 côtés donnent 9 − 2 = 7 triangles, et 7 × 180° = 1260°.
Sara dit : « Un dodécagone convexe a plus de côtés qu'un triangle, donc la somme de ses angles extérieurs (un par sommet) est plus grande. » Que réponds-tu ?
- a) Elle a raison : plus d'angles, donc une somme plus grande, comme pour les angles intérieurs
- b) Elle n'a raison que si le dodécagone est régulier
- c) Elle se trompe : les angles extérieurs font toujours 180°
- d) Elle se trompe : dans tout polygone convexe, les angles extérieurs font 360°, quel que soit le nombre de côtés
Bonne réponse: d) Elle se trompe : dans tout polygone convexe, les angles extérieurs font 360°, quel que soit le nombre de côtés — Exact : en faisant le tour de n'importe quel polygone convexe, tu fais un tour complet, 360°, avec 3 côtés ou avec 12.
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