Matematica classe 7: Angoli interni ed esterni di un poligono convesso
Matematica, classe 7 (Portogallo): Da dove vengono le somme (n − 2) × 180° e 360°, e come usarle per trovare un angolo mancante.
Dentro, fuori e le due somme
In un poligono convesso, l'angolo interno di un vertice sta dentro la figura, tra due lati consecutivi. L'angolo esterno sta fuori: è l'angolo tra un lato e il prolungamento dell'altro lato di quel vertice, e se ne prende uno per vertice. Nello stesso vertice i due sono supplementari: insieme fanno 180°. Se tracci tutte le diagonali da un vertice, un poligono di n lati si divide in n − 2 triangoli, quindi i suoi angoli interni sommano (n − 2) × 180°. Quelli esterni sommano sempre 360°.
Da dove vengono le due somme
Interni: gli n − 2 triangoli riempiono tutto il poligono e ognuno porta 180°, quindi il totale è (n − 2) × 180°. Esterni: immagina di camminare lungo il poligono e di girare, a ogni vertice, dell'angolo esterno. Tornato al punto di partenza guardi di nuovo nella stessa direzione: hai fatto un giro completo, 360°, che il poligono abbia 3 lati o 30. Le due somme concordano: siccome ogni angolo interno è 180° meno quello esterno, la somma degli interni è n × 180° − 360°, cioè (n − 2) × 180°.
Trovare l'angolo mancante in un pentagono
Un pentagono convesso ha quattro angoli interni di 100°, 110°, 95° e 120°. Quanto misura il quinto? Somma degli interni: (5 − 2) × 180° = 3 × 180° = 540°. I quattro noti sommano 100 + 110 + 95 + 120 = 425°, quindi il quinto misura 540 − 425 = 115°. Esterni: 180 − 100 = 80°, 70°, 85°, 60° e 180 − 115 = 65°; sommano 80 + 70 + 85 + 60 + 65 = 360°. Se fosse regolare, ogni angolo interno misurerebbe 540 ÷ 5 = 108° e ogni esterno 360 ÷ 5 = 72°.
La trappola: n × 180° e dividere per n
Due errori. Uno: scrivere n × 180° invece di (n − 2) × 180°. Nel pentagono darebbe 900° invece di 540°; conta sempre gli n − 2 triangoli. Due: dividere la somma per il numero dei lati per trovare «l'angolo» del poligono. Vale solo per i poligoni regolari. Nel pentagono del calcolo precedente gli angoli sono 100°, 110°, 95°, 120° e 115°, e nessuno misura 108°. E ricorda che gli esterni non dipendono dal numero dei lati: sommano 360° in un triangolo e in un dodecagono.
Dove lo vedi
Nella programmazione a blocchi, come Scratch, disegni un poligono regolare ripetendo «avanza e gira». Di quanto giri è l'angolo esterno, 360° ÷ n: 72° per un pentagono, 60° per un esagono. Su un pavimento di piastrelle esagonali regolari, tre angoli si incontrano in un punto senza vuoti, perché 3 × 120° = 360°. E chi disegna una pianta o un pezzo usa la somma per trovare un angolo che non può misurare direttamente.
Metti alla prova quello che hai imparato
In un vertice di un poligono convesso, l'angolo interno misura 110°. Quanto misura l'angolo esterno in quel vertice?
- a) 20°
- b) 110°
- c) 70°
- d) 250°
Risposta corretta: c) 70° — Giusto: 180° − 110° = 70°. Nello stesso vertice, angolo interno ed esterno sono supplementari.
Quanto sommano gli angoli interni di un poligono convesso con 9 lati?
- a) 1260°
- b) 1620°
- c) 1440°
- d) 1080°
Risposta corretta: a) 1260° — Giusto: 9 lati danno 9 − 2 = 7 triangoli, e 7 × 180° = 1260°.
Sara dice: «Un dodecagono convesso ha più lati di un triangolo, quindi la somma dei suoi angoli esterni (uno per vertice) è maggiore.» Cosa rispondi?
- a) Ha ragione: più angoli, somma maggiore, come per gli angoli interni
- b) Ha ragione solo se il dodecagono è regolare
- c) Si sbaglia: gli esterni sommano sempre 180°
- d) Si sbaglia: in qualsiasi poligono convesso gli esterni sommano 360°, qualunque sia il numero di lati
Risposta corretta: d) Si sbaglia: in qualsiasi poligono convesso gli esterni sommano 360°, qualunque sia il numero di lati — Giusto: girando intorno a qualsiasi poligono convesso fai un giro completo, 360°, con 3 lati o con 12.
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