Matemática 7.º ano: Faces, arestas, vértices e a fórmula de Euler
Matemática, 7.º ano (Portugal): Conta muitos poliedros, descobre o que nunca muda e usa-o para conferir as tuas contagens.
Um número que nunca muda
Conta os vértices (V), as arestas (A) e as faces (F) de vários poliedros e regista numa tabela. Cubo: 8, 12, 6. Tetraedro: 4, 6, 4. Octaedro: 6, 12, 8. Prisma pentagonal: 10, 15, 7. Aparece um padrão: V − A + F dá sempre 2. É a fórmula de Euler, que se escreve V − A + F = 2, ou V + F = A + 2. Descobriste-a como se descobrem as regras: olhando para muitos casos.
Há mais relações escondidas na tabela
A fórmula liga os três números: sabendo dois, descobres o terceiro. E há mais. Cada aresta fica entre duas faces, por isso, somando os lados de todas as faces, cada aresta conta duas vezes: soma dos lados = 2 × A. Se todas as faces forem triângulos, 3 × F = 2 × A, logo F é par e A é múltiplo de 3. Num prisma, A = 3 × n é múltiplo de 3, e numa pirâmide, A = 2 × n é par.
Uma tabela mais larga e uma bola de futebol
(V, A, F): tetraedro 4, 6, 4; cubo 8, 12, 6; octaedro 6, 12, 8; dodecaedro 20, 30, 12; icosaedro 12, 30, 20. Sempre V − A + F = 2, por exemplo 20 − 30 + 12 = 2. Agora um teste com o icosaedro truncado (12 pentágonos, 20 hexágonos). F = 12 + 20 = 32. Lados: 12 × 5 + 20 × 6 = 180, logo A = 180 ÷ 2 = 90. Cada vértice tem 3 faces, logo V = 180 ÷ 3 = 60. E 60 − 90 + 32 = 2.
Quando não dá 2
Contas um sólido e obténs V = 8, A = 13 e F = 6: 8 − 13 + 6 = 1. «A fórmula de Euler falhou!» Não falhou: vale para todos os poliedros que estudas, por isso o erro está na contagem. Com 8 vértices e 6 faces, a fórmula pede A = 12. Usa-a para validar as tuas contagens. Mas um 2 não prova que as contagens estão certas, porque dois erros podem compensar-se.
Conferir modelos 3D
Quem constrói modelos 3D no computador trabalha com listas de vértices, arestas e faces. Contar os três e testar V − A + F = 2 é uma verificação rápida de que nenhuma peça se perdeu. Também podes planear um modelo: um poliedro com 12 vértices e 30 arestas tem de ter F = 2 + 30 − 12 = 20 faces, como o icosaedro. Uma fórmula poupa-te a contar tudo, um a um.
Testa o que aprendeste
Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Qual das relações é verdadeira para o cubo e para todos os poliedros que estudaste?
- a) V + A = F + 2
- b) A + F = V + 2
- c) V + A + F = 2
- d) V + F = A + 2
Resposta certa: d) V + F = A + 2 — No cubo 8 + 6 = 14 e 12 + 2 = 14. Também vale no tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2. É a fórmula de Euler.
Um poliedro tem 8 faces, todas triângulos, e a fórmula de Euler vale para ele. Quantos vértices tem?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
Resposta certa: a) 6 — Sim: 8 × 3 = 24 lados, logo 12 arestas, e V = 2 + 12 − 8 = 6. É o caso do octaedro.
A Léa conta um sólido: V = 8, A = 13, F = 6, logo V − A + F = 1. O que deve fazer?
- a) Concluir que a fórmula de Euler não funciona neste sólido.
- b) Aceitar as contagens: 1 está perto de 2.
- c) Decidir que a fórmula só vale para poliedros regulares, logo este sólido é irregular.
- d) Contar de novo: alguma contagem está errada. Se V e F estão certos, A tem de ser 12.
Resposta certa: d) Contar de novo: alguma contagem está errada. Se V e F estão certos, A tem de ser 12. — Certo: 8 − A + 6 = 2 dá A = 12, por isso provavelmente contou uma aresta a mais. A fórmula de Euler serve de verificação.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…