Matemáticas 7.º curso: Caras, aristas, vértices y la fórmula de Euler
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Cuenta muchos poliedros, descubre lo que nunca cambia y úsalo para comprobar tus conteos.
Un número que nunca cambia
Cuenta los vértices (V), las aristas (A) y las caras (C) de varios poliedros y anótalos en una tabla. Cubo: 8, 12, 6. Tetraedro: 4, 6, 4. Octaedro: 6, 12, 8. Prisma pentagonal: 10, 15, 7. Aparece un patrón: V − A + C siempre da 2. Es la fórmula de Euler, que se escribe V − A + C = 2, o V + C = A + 2. La has descubierto como se descubren las reglas: mirando muchos casos.
Hay más relaciones escondidas en la tabla
La fórmula une los tres números: sabiendo dos, hallas el tercero. Y hay más. Cada arista queda entre dos caras, así que al sumar los lados de todas las caras cada arista cuenta dos veces: suma de lados = 2 × A. Si todas las caras son triángulos, 3 × C = 2 × A, luego C es par y A es múltiplo de 3. En un prisma, A = 3 × n es múltiplo de 3, y en una pirámide, A = 2 × n es par.
Una tabla más amplia y un balón de fútbol
(V, A, C): tetraedro 4, 6, 4; cubo 8, 12, 6; octaedro 6, 12, 8; dodecaedro 20, 30, 12; icosaedro 12, 30, 20. Siempre V − A + C = 2, por ejemplo 20 − 30 + 12 = 2. Ahora una prueba con el icosaedro truncado (12 pentágonos, 20 hexágonos). C = 12 + 20 = 32. Lados: 12 × 5 + 20 × 6 = 180, luego A = 180 ÷ 2 = 90. Cada vértice tiene 3 caras, luego V = 180 ÷ 3 = 60. Y 60 − 90 + 32 = 2.
Cuando no da 2
Cuentas un sólido y obtienes V = 8, A = 13 y C = 6: 8 − 13 + 6 = 1. «¡La fórmula de Euler ha fallado!» No ha fallado: vale para todos los poliedros que estudias, así que el error está en el conteo. Con 8 vértices y 6 caras, la fórmula pide A = 12. Úsala para comprobar tus conteos. Pero un 2 no prueba que los conteos estén bien, porque dos errores pueden compensarse.
Comprobar modelos 3D
Quien construye modelos 3D en el ordenador trabaja con listas de vértices, aristas y caras. Contar los tres y comprobar V − A + C = 2 es una verificación rápida de que no se ha perdido ninguna pieza. También puedes planificar un modelo: un poliedro con 12 vértices y 30 aristas tiene que tener C = 2 + 30 − 12 = 20 caras, como el icosaedro. Una fórmula te ahorra contarlo todo uno a uno.
Pon a prueba lo que has aprendido
Un cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras. ¿Qué relación es verdadera para el cubo y para todos los poliedros que has estudiado?
- a) V + A = C + 2
- b) A + C = V + 2
- c) V + A + C = 2
- d) V + C = A + 2
Respuesta correcta: d) V + C = A + 2 — En el cubo 8 + 6 = 14 y 12 + 2 = 14. También vale en el tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2. Es la fórmula de Euler.
Un poliedro tiene 8 caras, todas triángulos, y la fórmula de Euler vale para él. ¿Cuántos vértices tiene?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
Respuesta correcta: a) 6 — Sí: 8 × 3 = 24 lados, luego 12 aristas, y V = 2 + 12 − 8 = 6. Es el caso del octaedro.
Léa cuenta un sólido: V = 8, A = 13, C = 6, luego V − A + C = 1. ¿Qué debe hacer?
- a) Concluir que la fórmula de Euler no funciona en este sólido.
- b) Aceptar los conteos: 1 está cerca de 2.
- c) Decidir que la fórmula solo vale para poliedros regulares, así que este sólido es irregular.
- d) Contar de nuevo: algún conteo está mal. Si V y C están bien, A tiene que ser 12.
Respuesta correcta: d) Contar de nuevo: algún conteo está mal. Si V y C están bien, A tiene que ser 12. — Correcto: 8 − A + 6 = 2 da A = 12, así que probablemente contó una arista de más. La fórmula de Euler sirve de comprobación.
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