Mathematik Klasse 7: Flächen, Kanten, Ecken und die Eulersche Formel
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Zähle viele Polyeder, finde, was sich nie ändert, und prüfe damit deine eigenen Zählungen.
Eine Zahl, die sich nie ändert
Zähle die Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) mehrerer Polyeder und trage sie in eine Tabelle ein. Würfel: 8, 12, 6. Tetraeder: 4, 6, 4. Oktaeder: 6, 12, 8. Fünfseitiges Prisma: 10, 15, 7. Es zeigt sich ein Muster: E − K + F ergibt immer 2. Das ist die Eulersche Formel, geschrieben E − K + F = 2 oder E + F = K + 2. Du hast sie so gefunden, wie man Regeln findet: durch viele Fälle.
In der Tabelle stecken weitere Beziehungen
Die Formel verbindet die drei Zahlen: Kennst du zwei, findest du die dritte. Es gibt mehr. Jede Kante liegt zwischen zwei Flächen; addierst du die Seiten aller Flächen, zählt jede Kante doppelt: Summe der Seiten = 2 × K. Sind alle Flächen Dreiecke, gilt 3 × F = 2 × K, also ist F gerade und K ein Vielfaches von 3. Bei einem Prisma ist K = 3 × n ein Vielfaches von 3, bei einer Pyramide ist K = 2 × n gerade.
Eine größere Tabelle und ein Fußball
(E, K, F): Tetraeder 4, 6, 4; Würfel 8, 12, 6; Oktaeder 6, 12, 8; Dodekaeder 20, 30, 12; Ikosaeder 12, 30, 20. Immer E − K + F = 2, z. B. 20 − 30 + 12 = 2. Jetzt ein Test am Ikosaederstumpf (12 Fünfecke, 20 Sechsecke). F = 12 + 20 = 32. Seiten: 12 × 5 + 20 × 6 = 180, also K = 180 ÷ 2 = 90. Jede Ecke hat 3 Flächen, also E = 180 ÷ 3 = 60. Und 60 − 90 + 32 = 2.
Wenn nicht 2 herauskommt
Du zählst einen Körper und erhältst E = 8, K = 13 und F = 6: 8 − 13 + 6 = 1. „Die Eulersche Formel stimmt nicht!“ Doch: Sie gilt für jedes Polyeder, das du untersuchst, also steckt der Fehler in der Zählung. Bei 8 Ecken und 6 Flächen verlangt die Formel K = 12. Nutze sie, um deine Zählungen zu prüfen. Aber eine 2 beweist nicht, dass die Zählung stimmt, denn zwei Fehler können sich ausgleichen.
3D-Modelle prüfen
Wer am Computer 3D-Modelle baut, arbeitet mit Listen von Ecken, Kanten und Flächen. Die drei zu zählen und E − K + F = 2 zu prüfen, ist ein schneller Test, dass kein Teil verloren ging. Du kannst auch ein Modell planen: Ein Polyeder mit 12 Ecken und 30 Kanten muss F = 2 + 30 − 12 = 20 Flächen haben, wie das Ikosaeder. Eine Formel erspart dir, alles einzeln zu zählen.
Teste, was du gelernt hast
Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Welche Beziehung stimmt für den Würfel und für alle Polyeder, die du untersucht hast?
- a) E + K = F + 2
- b) K + F = E + 2
- c) E + K + F = 2
- d) E + F = K + 2
Richtige Antwort: d) E + F = K + 2 — Beim Würfel ist 8 + 6 = 14 und 12 + 2 = 14. Sie gilt auch beim Tetraeder: 4 + 4 = 6 + 2. Das ist die Eulersche Formel.
Ein Polyeder hat 8 Flächen, alles Dreiecke, und die Eulersche Formel gilt für es. Wie viele Ecken hat es?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
Richtige Antwort: a) 6 — Ja: 8 × 3 = 24 Seiten, also 12 Kanten, und E = 2 + 12 − 8 = 6. Das ist der Fall des Oktaeders.
Léa zählt einen Körper: E = 8, K = 13, F = 6, also E − K + F = 1. Was sollte sie tun?
- a) Schließen, dass die Eulersche Formel bei diesem Körper nicht gilt.
- b) Die Zählung akzeptieren: 1 liegt nahe an 2.
- c) Entscheiden, dass die Formel nur für regelmäßige Polyeder gilt, dieser Körper also unregelmäßig ist.
- d) Noch einmal zählen: Eine Zählung ist falsch. Sind E und F richtig, muss K gleich 12 sein.
Richtige Antwort: d) Noch einmal zählen: Eine Zählung ist falsch. Sind E und F richtig, muss K gleich 12 sein. — Richtig: 8 − K + 6 = 2 ergibt K = 12, sie hat also wohl eine Kante zu viel gezählt. Die Eulersche Formel dient als Kontrolle.
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