Matematica classe 7: Facce, spigoli, vertici e la formula di Eulero
Matematica, classe 7 (Portogallo): Conta molti poliedri, scopri ciò che non cambia mai e usalo per controllare i tuoi conteggi.
Un numero che non cambia mai
Conta i vertici (V), gli spigoli (S) e le facce (F) di vari poliedri e scrivili in una tabella. Cubo: 8, 12, 6. Tetraedro: 4, 6, 4. Ottaedro: 6, 12, 8. Prisma pentagonale: 10, 15, 7. Compare uno schema: V − S + F fa sempre 2. È la formula di Eulero, che si scrive V − S + F = 2, oppure V + F = S + 2. L'hai trovata come si trovano le regole: guardando molti casi.
Ci sono altre relazioni nascoste nella tabella
La formula lega i tre numeri: conoscendone due, trovi il terzo. E c'è di più. Ogni spigolo sta tra due facce, quindi sommando i lati di tutte le facce ogni spigolo conta due volte: somma dei lati = 2 × S. Se tutte le facce sono triangoli, 3 × F = 2 × S, quindi F è pari e S è multiplo di 3. In un prisma S = 3 × n è multiplo di 3, e in una piramide S = 2 × n è pari.
Una tabella più ampia e un pallone da calcio
(V, S, F): tetraedro 4, 6, 4; cubo 8, 12, 6; ottaedro 6, 12, 8; dodecaedro 20, 30, 12; icosaedro 12, 30, 20. Sempre V − S + F = 2, ad esempio 20 − 30 + 12 = 2. Ora una prova con l'icosaedro troncato (12 pentagoni, 20 esagoni). F = 12 + 20 = 32. Lati: 12 × 5 + 20 × 6 = 180, quindi S = 180 ÷ 2 = 90. Ogni vertice ha 3 facce, quindi V = 180 ÷ 3 = 60. E 60 − 90 + 32 = 2.
Quando non fa 2
Conti un solido e ottieni V = 8, S = 13 e F = 6: 8 − 13 + 6 = 1. «La formula di Eulero ha fallito!» No: vale per tutti i poliedri che studi, quindi l'errore è nel conteggio. Con 8 vertici e 6 facce, la formula richiede S = 12. Usala per controllare i tuoi conteggi. Ma un 2 non prova che i conteggi siano giusti, perché due errori possono compensarsi.
Controllare modelli 3D
Chi costruisce modelli 3D al computer lavora con elenchi di vertici, spigoli e facce. Contare i tre e verificare V − S + F = 2 è un controllo rapido che nessun pezzo si sia perso. Puoi anche pianificare un modello: un poliedro con 12 vertici e 30 spigoli deve avere F = 2 + 30 − 12 = 20 facce, come l'icosaedro. Una formula ti risparmia di contare tutto uno per uno.
Metti alla prova quello che hai imparato
Un cubo ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce. Quale relazione è vera per il cubo e per tutti i poliedri che hai studiato?
- a) V + S = F + 2
- b) S + F = V + 2
- c) V + S + F = 2
- d) V + F = S + 2
Risposta corretta: d) V + F = S + 2 — Nel cubo 8 + 6 = 14 e 12 + 2 = 14. Vale anche per il tetraedro: 4 + 4 = 6 + 2. È la formula di Eulero.
Un poliedro ha 8 facce, tutte triangoli, e la formula di Eulero vale per lui. Quanti vertici ha?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
Risposta corretta: a) 6 — Sì: 8 × 3 = 24 lati, quindi 12 spigoli, e V = 2 + 12 − 8 = 6. È il caso dell'ottaedro.
Léa conta un solido: V = 8, S = 13, F = 6, quindi V − S + F = 1. Cosa deve fare?
- a) Concludere che la formula di Eulero non funziona per questo solido.
- b) Accettare i conteggi: 1 è vicino a 2.
- c) Decidere che la formula vale solo per i poliedri regolari, quindi questo solido è irregolare.
- d) Contare di nuovo: un conteggio è sbagliato. Se V e F sono giusti, S deve essere 12.
Risposta corretta: d) Contare di nuovo: un conteggio è sbagliato. Se V e F sono giusti, S deve essere 12. — Esatto: 8 − S + 6 = 2 dà S = 12, quindi probabilmente ha contato uno spigolo in più. La formula di Eulero serve da verifica.
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