Mathématiques 7e année : Faces, arêtes, sommets et la formule d'Euler
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Compte beaucoup de polyèdres, trouve ce qui ne change jamais et sers-t'en pour vérifier tes propres dénombrements.
Un nombre qui ne change jamais
Compte les sommets (S), les arêtes (A) et les faces (F) de plusieurs polyèdres et note-les dans un tableau. Cube : 8, 12, 6. Tétraèdre : 4, 6, 4. Octaèdre : 6, 12, 8. Prisme pentagonal : 10, 15, 7. Un motif apparaît : S − A + F fait toujours 2. C'est la formule d'Euler, qui s'écrit S − A + F = 2, ou S + F = A + 2. Tu l'as trouvée comme on trouve les règles : en regardant beaucoup de cas.
Il y a d'autres relations cachées dans le tableau
La formule relie les trois nombres : en connaissant deux, tu trouves le troisième. Et il y a plus. Chaque arête sépare deux faces, donc en additionnant les côtés de toutes les faces, chaque arête compte deux fois : somme des côtés = 2 × A. Si toutes les faces sont des triangles, 3 × F = 2 × A, donc F est pair et A est un multiple de 3. Dans un prisme, A = 3 × n est un multiple de 3, et dans une pyramide, A = 2 × n est pair.
Un tableau plus large et un ballon de football
(S, A, F) : tétraèdre 4, 6, 4 ; cube 8, 12, 6 ; octaèdre 6, 12, 8 ; dodécaèdre 20, 30, 12 ; icosaèdre 12, 30, 20. Toujours S − A + F = 2, par exemple 20 − 30 + 12 = 2. Maintenant un test sur l'icosaèdre tronqué (12 pentagones, 20 hexagones). F = 12 + 20 = 32. Côtés : 12 × 5 + 20 × 6 = 180, donc A = 180 ÷ 2 = 90. Chaque sommet a 3 faces, donc S = 180 ÷ 3 = 60. Et 60 − 90 + 32 = 2.
Quand ça ne fait pas 2
Tu comptes un solide et tu obtiens S = 8, A = 13 et F = 6 : 8 − 13 + 6 = 1. « La formule d'Euler a échoué ! » Non : elle vaut pour tous les polyèdres que tu étudies, donc l'erreur est dans le dénombrement. Avec 8 sommets et 6 faces, la formule demande A = 12. Sers-t'en pour vérifier tes dénombrements. Mais un 2 ne prouve pas que les dénombrements sont justes, car deux erreurs peuvent se compenser.
Vérifier des modèles 3D
Qui construit des modèles 3D sur ordinateur travaille avec des listes de sommets, d'arêtes et de faces. Compter les trois et tester S − A + F = 2 est une vérification rapide qu'aucune pièce ne s'est perdue. Tu peux aussi préparer un modèle : un polyèdre à 12 sommets et 30 arêtes doit avoir F = 2 + 30 − 12 = 20 faces, comme l'icosaèdre. Une formule t'évite de tout compter un par un.
Teste ce que tu as appris
Un cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces. Quelle relation est vraie pour le cube et pour tous les polyèdres que tu as étudiés ?
- a) S + A = F + 2
- b) A + F = S + 2
- c) S + A + F = 2
- d) S + F = A + 2
Bonne réponse: d) S + F = A + 2 — Pour le cube 8 + 6 = 14 et 12 + 2 = 14. Elle vaut aussi pour le tétraèdre : 4 + 4 = 6 + 2. C'est la formule d'Euler.
Un polyèdre a 8 faces, toutes des triangles, et la formule d'Euler vaut pour lui. Combien de sommets a-t-il ?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
Bonne réponse: a) 6 — Oui : 8 × 3 = 24 côtés, donc 12 arêtes, et S = 2 + 12 − 8 = 6. C'est le cas de l'octaèdre.
Léa compte un solide : S = 8, A = 13, F = 6, donc S − A + F = 1. Que doit-elle faire ?
- a) Conclure que la formule d'Euler ne marche pas pour ce solide.
- b) Accepter les dénombrements : 1 est proche de 2.
- c) Décider que la formule ne vaut que pour les polyèdres réguliers, donc ce solide est irrégulier.
- d) Recompter : un dénombrement est faux. Si S et F sont justes, A doit valoir 12.
Bonne réponse: d) Recompter : un dénombrement est faux. Si S et F sont justes, A doit valoir 12. — Exact : 8 − A + 6 = 2 donne A = 12, elle a donc probablement compté une arête de trop. La formule d'Euler sert de vérification.
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