Propriedades das operações escritas com letras — Matemática, 11–13
As propriedades da adição e da multiplicação valem para quaisquer números, por isso uma expressão com letras diz todas de uma vez e ajuda a completar igualdades.
Regras que valem para quaisquer números
As propriedades das operações são regras que funcionam para quaisquer números, frações incluídas. Com letras escrevemos cada uma só uma vez: a + b = b + a e a × b = b × a (comutativa), (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) e a × (b + c) = a × b + a × c (distributiva: multiplicar uma soma é multiplicar cada parcela). Cada letra guarda o lugar de um número qualquer, por isso 1/2 + 4 = 4 + 1/2 e 2/3 × 9 = 9 × 2/3 são casos da mesma expressão.
Completar, calcular e ter a certeza
Conhecer uma propriedade permite completar uma igualdade sem calcular os dois lados: se 3/4 × 8 aparece à direita, o número 8 tem de estar dentro dos parênteses à esquerda. Também acelera o cálculo mental. E uma propriedade escrita com letras é verdadeira para todos os números, e não só para os que experimentaste, por isso merece confiança onde alguns exemplos não merecem.
Completar igualdades com frações
Completa 3/4 × (8 + __) = 3/4 × 8 + 3/4 × 12. Na propriedade distributiva, cada número dentro dos parênteses reaparece à direita multiplicado por 3/4, por isso __ = 12. Confirma: 3/4 × (8 + 12) = 3/4 × 20 = 15, e à direita 3/4 × 8 = 6, 3/4 × 12 = 9, e 6 + 9 = 15. Outra: 5/6 + 4 = 4 + __. Pela propriedade comutativa, __ = 5/6, porque a ordem das parcelas não altera a soma. Em letras: a × (b + c) = a × b + a × c, aqui com a = 3/4, b = 8 e c = 12.
Multiplicar só a primeira parcela
Será que 1/2 × (10 + 6) = 1/2 × 10 + 6? Muita gente multiplica só o primeiro número dentro dos parênteses e copia o segundo. É um deslize razoável, porque sem os parênteses parece uma soma comum. Mas o lado esquerdo é 1/2 × 16 = 8 e o direito é 5 + 6 = 11. A multiplicação tem de chegar a todas as parcelas: 1/2 × 10 + 1/2 × 6 = 5 + 3 = 8. Em letras é a × (b + c) = a × b + a × c, nunca a × b + c.
Cálculo mental e áreas
No cálculo mental usas a propriedade distributiva sem dar por isso: 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300. Também aparece nas áreas: um retângulo com 3 cm de altura e 5 + 2 cm de largura pode medir-se inteiro, 3 × (5 + 2) = 21 cm², ou cortado em duas peças, 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21 cm². Com letras, uma linha, a × (b + c) = a × b + a × c, serve para todos os retângulos e todos os produtos deste tipo.
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