Propiedades de las operaciones escritas con letras — 11–13
Las propiedades de la suma y la multiplicación valen para cualquier número, así que una expresión con letras las dice todas a la vez y ayuda a completar igualdades.
Reglas que valen para cualquier número
Las propiedades de las operaciones son reglas que funcionan para cualquier número, fracciones incluidas. Con letras escribimos cada una una sola vez: a + b = b + a y a × b = b × a (conmutativa), (a + b) + c = a + (b + c) (asociativa) y a × (b + c) = a × b + a × c (distributiva: multiplicar una suma es multiplicar cada sumando). Cada letra guarda el lugar de un número cualquiera, así que 1/2 + 4 = 4 + 1/2 y 2/3 × 9 = 9 × 2/3 son casos de la misma expresión.
Completar, calcular y estar seguro
Conocer una propiedad te permite completar una igualdad sin calcular los dos lados: si 3/4 × 8 aparece a la derecha, el número 8 tiene que estar dentro del paréntesis a la izquierda. También acelera el cálculo mental. Y una propiedad escrita con letras es verdadera para todos los números, no solo para los que probaste, así que merece confianza donde unos pocos ejemplos no la merecen.
Completar igualdades con fracciones
Completa 3/4 × (8 + __) = 3/4 × 8 + 3/4 × 12. En la propiedad distributiva, cada número dentro del paréntesis reaparece a la derecha multiplicado por 3/4, así que __ = 12. Comprueba: 3/4 × (8 + 12) = 3/4 × 20 = 15, y a la derecha 3/4 × 8 = 6, 3/4 × 12 = 9, y 6 + 9 = 15. Otra: 5/6 + 4 = 4 + __. Por la propiedad conmutativa, __ = 5/6, porque el orden de los sumandos no cambia la suma. En letras: a × (b + c) = a × b + a × c, aquí con a = 3/4, b = 8 y c = 12.
Multiplicar solo el primer sumando
¿Es 1/2 × (10 + 6) = 1/2 × 10 + 6? Mucha gente multiplica solo el primer número dentro del paréntesis y copia el segundo. Es un desliz razonable, porque sin el paréntesis parece una suma corriente. Pero el lado izquierdo es 1/2 × 16 = 8 y el derecho es 5 + 6 = 11. La multiplicación tiene que llegar a todos los sumandos: 1/2 × 10 + 1/2 × 6 = 5 + 3 = 8. En letras es a × (b + c) = a × b + a × c, nunca a × b + c.
Cálculo mental y áreas
En el cálculo mental usas la propiedad distributiva sin darte cuenta: 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300. También aparece en las áreas: un rectángulo de 3 cm de alto y 5 + 2 cm de ancho se puede medir entero, 3 × (5 + 2) = 21 cm², o cortado en dos piezas, 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21 cm². Con letras, una línea, a × (b + c) = a × b + a × c, sirve para todos los rectángulos y todos los productos de este tipo.
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