Rechengesetze mit Buchstaben schreiben — Mathematik, 11–13
Die Rechengesetze der Addition und Multiplikation gelten für beliebige Zahlen, darum sagt ein Term mit Buchstaben sie alle auf einmal und hilft, Gleichungen zu ergänzen.
Regeln, die für alle Zahlen gelten
Die Rechengesetze sind Regeln, die für beliebige Zahlen gelten, auch für Brüche. Mit Buchstaben schreiben wir jedes nur einmal: a + b = b + a und a × b = b × a (Kommutativgesetz), (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz) und a × (b + c) = a × b + a × c (Distributivgesetz: Eine Summe zu multiplizieren heißt, jeden Summanden zu multiplizieren). Jeder Buchstabe steht für eine beliebige Zahl, also sind 1/2 + 4 = 4 + 1/2 und 2/3 × 9 = 9 × 2/3 Fälle desselben Terms.
Ergänzen, rechnen und sicher sein
Wer ein Gesetz kennt, kann eine Gleichung ergänzen, ohne beide Seiten auszurechnen: Steht rechts 3/4 × 8, muss links die 8 in der Klammer stehen. Es beschleunigt auch das Kopfrechnen. Und ein Gesetz in Buchstaben gilt für jede Zahl, nicht nur für die, die du probiert hast, man kann sich also darauf verlassen, wo wenige Beispiele nicht genügen.
Gleichungen mit Brüchen ergänzen
Ergänze 3/4 × (8 + __) = 3/4 × 8 + 3/4 × 12. Beim Distributivgesetz taucht jede Zahl in der Klammer rechts mit 3/4 multipliziert wieder auf, also __ = 12. Prüfe: 3/4 × (8 + 12) = 3/4 × 20 = 15, und rechts 3/4 × 8 = 6, 3/4 × 12 = 9 und 6 + 9 = 15. Noch eins: 5/6 + 4 = 4 + __. Nach dem Kommutativgesetz ist __ = 5/6, weil die Reihenfolge der Summanden die Summe nicht ändert. In Buchstaben: a × (b + c) = a × b + a × c, hier mit a = 3/4, b = 8 und c = 12.
Nur den ersten Summanden multiplizieren
Gilt 1/2 × (10 + 6) = 1/2 × 10 + 6? Viele multiplizieren nur die erste Zahl in der Klammer und schreiben die zweite einfach ab. Das ist ein nachvollziehbarer Ausrutscher, denn ohne Klammer sieht es wie eine gewöhnliche Summe aus. Aber die linke Seite ist 1/2 × 16 = 8 und die rechte 5 + 6 = 11. Die Multiplikation muss jeden Summanden erreichen: 1/2 × 10 + 1/2 × 6 = 5 + 3 = 8. In Buchstaben heißt es a × (b + c) = a × b + a × c, nie a × b + c.
Kopfrechnen und Flächen
Beim Kopfrechnen nutzt du das Distributivgesetz, ohne es zu merken: 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300. Es steckt auch in Flächen: Ein Rechteck, 3 cm hoch und 5 + 2 cm breit, lässt sich ganz messen, 3 × (5 + 2) = 21 cm², oder in zwei Stücke zerlegt, 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21 cm². Mit Buchstaben deckt eine Zeile, a × (b + c) = a × b + a × c, alle Rechtecke und alle Produkte dieser Art ab.
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