Proprietà delle operazioni scritte con le lettere — Matematica, 11–13
Le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione valgono per qualsiasi numero, quindi un'espressione con le lettere le dice tutte insieme e aiuta a completare uguaglianze.
Regole valide per qualsiasi numero
Le proprietà delle operazioni sono regole che valgono per qualsiasi numero, frazioni comprese. Con le lettere scriviamo ciascuna una sola volta: a + b = b + a e a × b = b × a (commutativa), (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) e a × (b + c) = a × b + a × c (distributiva: moltiplicare una somma significa moltiplicare ogni addendo). Ogni lettera tiene il posto di un numero qualunque, quindi 1/2 + 4 = 4 + 1/2 e 2/3 × 9 = 9 × 2/3 sono casi della stessa espressione.
Completare, calcolare ed essere sicuri
Conoscere una proprietà permette di completare un'uguaglianza senza calcolare entrambi i membri: se 3/4 × 8 compare a destra, il numero 8 deve stare dentro la parentesi a sinistra. Velocizza anche il calcolo mentale. E una proprietà scritta con le lettere è vera per tutti i numeri, non solo per quelli che hai provato, quindi ci si può fidare dove pochi esempi non bastano.
Completare uguaglianze con le frazioni
Completa 3/4 × (8 + __) = 3/4 × 8 + 3/4 × 12. Nella proprietà distributiva, ogni numero dentro la parentesi ricompare a destra moltiplicato per 3/4, quindi __ = 12. Controlla: 3/4 × (8 + 12) = 3/4 × 20 = 15, e a destra 3/4 × 8 = 6, 3/4 × 12 = 9, e 6 + 9 = 15. Un altro: 5/6 + 4 = 4 + __. Per la proprietà commutativa, __ = 5/6, perché l'ordine degli addendi non cambia la somma. In lettere: a × (b + c) = a × b + a × c, qui con a = 3/4, b = 8 e c = 12.
Moltiplicare solo il primo addendo
È vero che 1/2 × (10 + 6) = 1/2 × 10 + 6? Molti moltiplicano solo il primo numero dentro la parentesi e ricopiano il secondo. È una svista ragionevole, perché senza la parentesi sembra una somma comune. Ma il primo membro è 1/2 × 16 = 8 e il secondo è 5 + 6 = 11. La moltiplicazione deve raggiungere ogni addendo: 1/2 × 10 + 1/2 × 6 = 5 + 3 = 8. In lettere è a × (b + c) = a × b + a × c, mai a × b + c.
Calcolo mentale e aree
Nel calcolo mentale usi la proprietà distributiva senza accorgertene: 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300. Compare anche nelle aree: un rettangolo alto 3 cm e largo 5 + 2 cm si può misurare intero, 3 × (5 + 2) = 21 cm², oppure diviso in due pezzi, 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21 cm². Con le lettere, una riga, a × (b + c) = a × b + a × c, vale per tutti i rettangoli e per tutti i prodotti di questo tipo.
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