Propriétés des opérations écrites avec des lettres — 11–13
Les propriétés de l'addition et de la multiplication valent pour tous les nombres, donc une expression avec des lettres les dit toutes d'un coup et aide à compléter des égalités.
Des règles valables pour tous les nombres
Les propriétés des opérations sont des règles qui marchent pour tous les nombres, fractions comprises. Avec des lettres, on écrit chacune une seule fois : a + b = b + a et a × b = b × a (commutativité), (a + b) + c = a + (b + c) (associativité) et a × (b + c) = a × b + a × c (distributivité : multiplier une somme, c'est multiplier chaque terme). Chaque lettre tient la place d'un nombre quelconque, donc 1/2 + 4 = 4 + 1/2 et 2/3 × 9 = 9 × 2/3 sont des cas de la même expression.
Compléter, calculer et être sûr
Connaître une propriété permet de compléter une égalité sans calculer les deux côtés : si 3/4 × 8 apparaît à droite, le nombre 8 doit être dans les parenthèses à gauche. Cela accélère aussi le calcul mental. Et une propriété écrite avec des lettres est vraie pour tous les nombres, pas seulement pour ceux que tu as essayés : on peut s'y fier là où quelques exemples ne suffisent pas.
Compléter des égalités avec des fractions
Complète 3/4 × (8 + __) = 3/4 × 8 + 3/4 × 12. Dans la distributivité, chaque nombre entre les parenthèses réapparaît à droite multiplié par 3/4, donc __ = 12. Vérifie : 3/4 × (8 + 12) = 3/4 × 20 = 15, et à droite 3/4 × 8 = 6, 3/4 × 12 = 9, et 6 + 9 = 15. Autre exemple : 5/6 + 4 = 4 + __. Par la commutativité, __ = 5/6, car l'ordre des termes ne change pas la somme. Avec des lettres : a × (b + c) = a × b + a × c, ici avec a = 3/4, b = 8 et c = 12.
Ne multiplier que le premier terme
Est-ce que 1/2 × (10 + 6) = 1/2 × 10 + 6 ? Beaucoup ne multiplient que le premier nombre entre parenthèses et recopient le second. C'est un faux pas raisonnable, car sans les parenthèses cela ressemble à une somme ordinaire. Mais le membre de gauche vaut 1/2 × 16 = 8 et celui de droite 5 + 6 = 11. La multiplication doit atteindre tous les termes : 1/2 × 10 + 1/2 × 6 = 5 + 3 = 8. En lettres, c'est a × (b + c) = a × b + a × c, jamais a × b + c.
Calcul mental et aires
En calcul mental, tu utilises la distributivité sans t'en rendre compte : 25 × 12 = 25 × (10 + 2) = 250 + 50 = 300. Elle apparaît aussi dans les aires : un rectangle de 3 cm de haut et de 5 + 2 cm de large se mesure en entier, 3 × (5 + 2) = 21 cm², ou coupé en deux morceaux, 3 × 5 + 3 × 2 = 15 + 6 = 21 cm². Avec des lettres, une seule ligne, a × (b + c) = a × b + a × c, vaut pour tous les rectangles et tous les produits de ce genre.
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