Matemática 7.º ano: Porque só existem cinco poliedros regulares
Matemática, 7.º ano (Portugal): Soma os ângulos num canto e vê, polígono a polígono, que poliedros regulares podem existir.
Um canto tem de fechar
Num vértice de um poliedro juntam-se pelo menos 3 faces, e os ângulos dessas faces à volta do vértice têm de somar menos de 360°. Se somarem exatamente 360°, as peças ficam planas, como azulejos no chão. Se somarem mais, não cabem. Os ângulos dos polígonos regulares são: triângulo 60°, quadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°. É com estes números que se decide que poliedros regulares podem existir.
Porque é que 360° é a fronteira
Imagina os polígonos à volta de um ponto, sobre a mesa. Com 360° cobrem tudo à volta e ficam planos. Para levantar um canto, tem de faltar um bocado desse ângulo: é o que deixa as faces inclinarem-se umas para as outras. Quanto menor a soma, mais bicudo o canto. Por isso «quantos poliedros regulares existem?» reduz-se a uma soma de ângulos, feita polígono a polígono. A soma mostra que não pode haver mais; que os cinco existem, vê-se a construí-los.
Testar cada polígono
Triângulo (60°): 3 faces dão 180°, 4 dão 240°, 5 dão 300°, e servem (tetraedro, octaedro, icosaedro); 6 dão 360°, plano. Quadrado (90°): 3 dão 270°, serve (cubo); 4 dão 360°, plano. Pentágono (108°): 3 dão 324°, serve (dodecaedro); 4 dão 432°, demais. Hexágono (120°): 3 já dão 360°, plano. Com 7 ou mais lados, 3 faces já passam de 360°. Total: 3 + 1 + 1 = 5.
360° «enche» o canto
Põe 6 triângulos equiláteros à volta de um ponto: 6 × 60° = 360°. «Encaixa na perfeição, deve dar um sólido!» Mas dá um hexágono plano: os triângulos ficam todos no mesmo plano e não há canto. O mesmo acontece com 4 quadrados (4 × 90° = 360°) ou 3 hexágonos (3 × 120° = 360°). É assim que se ladrilha um chão, não é assim que se faz um sólido. O canto de um poliedro precisa de menos de 360°.
A bola de futebol
A bola de futebol clássica, a preto e branco, é um icosaedro truncado, um dos sólidos arquimedianos: 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, com 60 vértices, 90 arestas e 32 faces. Não é regular, porque tem dois tipos de faces, mas em cada vértice encontram-se 1 pentágono e 2 hexágonos: 108° + 120° + 120° = 348°, menos de 360°, por isso o canto fecha. A mesma soma de ângulos serve para outros sólidos.
Testa o que aprendeste
Quantos poliedros regulares existem, e o que o explica?
- a) Infinitos: há um para cada polígono regular.
- b) Três: o tetraedro, o cubo e o octaedro.
- c) Quatro: um para cada tipo de face, triângulo, quadrado, pentágono e hexágono.
- d) Cinco: os ângulos num vértice têm de somar menos de 360°, e só cinco combinações o conseguem.
Resposta certa: d) Cinco: os ângulos num vértice têm de somar menos de 360°, e só cinco combinações o conseguem. — Sim: 3, 4 ou 5 triângulos, 3 quadrados e 3 pentágonos servem, e nenhuma outra combinação fica abaixo de 360°.
Que grupo de faces pode juntar-se num vértice de um poliedro regular? (Ângulos: quadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°.)
- a) 3 hexágonos regulares
- b) 3 pentágonos regulares
- c) 4 quadrados
- d) 4 pentágonos regulares
Resposta certa: b) 3 pentágonos regulares — 3 × 108° = 324°, menos de 360°. O canto fecha, e é o canto do dodecaedro.
O Rui põe 6 triângulos equiláteros à volta de um ponto: 6 × 60° = 360°. O que acontece quando tenta fechar o canto?
- a) Fica o canto do icosaedro.
- b) Faz uma pirâmide hexagonal de faces equiláteras.
- c) Ficam planos e formam um hexágono: não há canto.
- d) Sobrepõem-se, porque 360° é demais.
Resposta certa: c) Ficam planos e formam um hexágono: não há canto. — Certo: 360° é uma volta inteira, por isso não sobra nada para levantar as faces. O canto de um poliedro precisa de menos de 360°.
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