Mathématiques 7e année : Pourquoi il n'existe que cinq polyèdres réguliers
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Additionne les angles d'un coin et vois, polygone par polygone, quels polyèdres réguliers peuvent exister.
Un coin doit se refermer
À un sommet d'un polyèdre se rencontrent au moins 3 faces, et les angles de ces faces autour du sommet doivent faire moins de 360° au total. S'ils font exactement 360°, les pièces restent à plat, comme des carreaux au sol. S'ils font plus, elles ne tiennent pas. Les angles des polygones réguliers : triangle 60°, carré 90°, pentagone 108°, hexagone 120°. Avec ces nombres, on décide quels polyèdres réguliers peuvent exister.
Pourquoi 360° est la frontière
Imagine les polygones autour d'un point, sur la table. Avec 360° ils couvrent tout autour et restent à plat. Pour soulever un coin, il doit manquer un morceau de cet angle : c'est ce qui laisse les faces s'incliner l'une vers l'autre. Plus la somme est petite, plus le coin est pointu. « Combien de polyèdres réguliers existent ? » devient donc une somme d'angles, faite polygone par polygone. La somme montre qu'il ne peut pas y en avoir d'autres ; que les cinq existent, on le voit en les construisant.
Tester chaque polygone
Triangle (60°) : 3 faces font 180°, 4 font 240°, 5 font 300°, et conviennent (tétraèdre, octaèdre, icosaèdre) ; 6 font 360°, à plat. Carré (90°) : 3 font 270°, convient (cube) ; 4 font 360°, à plat. Pentagone (108°) : 3 font 324°, convient (dodécaèdre) ; 4 font 432°, trop. Hexagone (120°) : 3 font déjà 360°, à plat. Avec 7 côtés ou plus, 3 faces dépassent déjà 360°. Total : 3 + 1 + 1 = 5.
360° « remplit » le coin
Place 6 triangles équilatéraux autour d'un point : 6 × 60° = 360°. « Ça s'emboîte parfaitement, ça doit donner un solide ! » Mais ça donne un hexagone plat : tous les triangles restent dans le même plan et il n'y a pas de coin. Il en va de même avec 4 carrés (4 × 90° = 360°) ou 3 hexagones (3 × 120° = 360°). C'est ainsi qu'on carrelle un sol, pas qu'on construit un solide. Le coin d'un polyèdre demande moins de 360°.
Le ballon de football
Le ballon de football classique, noir et blanc, est un icosaèdre tronqué, l'un des solides d'Archimède : 12 pentagones et 20 hexagones réguliers, avec 60 sommets, 90 arêtes et 32 faces. Il n'est pas régulier, car il a deux sortes de faces, mais à chaque sommet se rencontrent 1 pentagone et 2 hexagones : 108° + 120° + 120° = 348°, moins de 360°, donc le coin se referme. La même somme d'angles sert pour d'autres solides.
Teste ce que tu as appris
Combien de polyèdres réguliers existe-t-il, et qu'est-ce qui l'explique ?
- a) Une infinité : il y en a un pour chaque polygone régulier.
- b) Trois : le tétraèdre, le cube et l'octaèdre.
- c) Quatre : un pour chaque sorte de face, triangle, carré, pentagone et hexagone.
- d) Cinq : les angles à un sommet doivent faire moins de 360°, et seules cinq combinaisons y arrivent.
Bonne réponse: d) Cinq : les angles à un sommet doivent faire moins de 360°, et seules cinq combinaisons y arrivent. — Oui : 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés et 3 pentagones conviennent, et aucune autre combinaison ne reste sous 360°.
Quel groupe de faces peut se rencontrer à un sommet d'un polyèdre régulier ? (Angles : carré 90°, pentagone 108°, hexagone 120°.)
- a) 3 hexagones réguliers
- b) 3 pentagones réguliers
- c) 4 carrés
- d) 4 pentagones réguliers
Bonne réponse: b) 3 pentagones réguliers — 3 × 108° = 324°, moins de 360°. Le coin se referme : c'est le coin du dodécaèdre.
Rui place 6 triangles équilatéraux autour d'un point : 6 × 60° = 360°. Que se passe-t-il quand il essaie de refermer le coin ?
- a) Cela donne le coin de l'icosaèdre.
- b) Cela fait une pyramide hexagonale à faces équilatérales.
- c) Ils restent à plat et forment un hexagone : il n'y a pas de coin.
- d) Ils se chevauchent, car 360° c'est trop.
Bonne réponse: c) Ils restent à plat et forment un hexagone : il n'y a pas de coin. — Exact : 360° est un tour complet, il ne reste rien pour soulever les faces. Le coin d'un polyèdre demande moins de 360°.
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