Mathematik Klasse 7: Warum es nur fünf regelmäßige Polyeder gibt
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Addiere die Winkel an einer Ecke und sieh, Vieleck für Vieleck, welche regelmäßigen Polyeder möglich sind.
Eine Ecke muss sich schließen
An einer Ecke eines Polyeders treffen mindestens 3 Flächen zusammen, und die Winkel dieser Flächen um die Ecke müssen zusammen weniger als 360° ergeben. Ergeben sie genau 360°, liegen die Teile flach, wie Fliesen am Boden. Ergeben sie mehr, passen sie nicht. Die Winkel der regelmäßigen Vielecke: Dreieck 60°, Quadrat 90°, Fünfeck 108°, Sechseck 120°. Mit diesen Zahlen entscheidest du, welche regelmäßigen Polyeder möglich sind.
Warum 360° die Grenze ist
Stell dir die Vielecke um einen Punkt auf dem Tisch vor. Mit 360° bedecken sie alles ringsum und liegen flach. Um eine Ecke aufzurichten, muss ein Stück dieses Winkels fehlen: Das lässt die Flächen sich zueinander neigen. Je kleiner die Summe, desto spitzer die Ecke. So wird „Wie viele regelmäßige Polyeder gibt es?“ zu einer Winkelsumme, Vieleck für Vieleck. Die Summe zeigt, dass es keine weiteren geben kann; dass die fünf existieren, sieht man beim Bauen.
Jedes Vieleck prüfen
Dreieck (60°): 3 Flächen ergeben 180°, 4 ergeben 240°, 5 ergeben 300°, das geht (Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder); 6 ergeben 360°, flach. Quadrat (90°): 3 ergeben 270°, das geht (Würfel); 4 ergeben 360°, flach. Fünfeck (108°): 3 ergeben 324°, das geht (Dodekaeder); 4 ergeben 432°, zu viel. Sechseck (120°): 3 ergeben schon 360°, flach. Ab 7 Seiten überschreiten 3 Flächen schon 360°. Insgesamt: 3 + 1 + 1 = 5.
360° „füllt“ die Ecke
Lege 6 gleichseitige Dreiecke um einen Punkt: 6 × 60° = 360°. „Passt genau, da muss ein Körper entstehen!“ Es entsteht aber ein flaches Sechseck: Alle Dreiecke bleiben in einer Ebene, eine Ecke gibt es nicht. Genauso bei 4 Quadraten (4 × 90° = 360°) oder 3 Sechsecken (3 × 120° = 360°). So parkettiert man einen Boden, so baut man keinen Körper. Die Ecke eines Polyeders braucht weniger als 360°.
Der Fußball
Der klassische schwarz-weiße Fußball ist ein Ikosaederstumpf, einer der archimedischen Körper: 12 regelmäßige Fünfecke und 20 regelmäßige Sechsecke, mit 60 Ecken, 90 Kanten und 32 Flächen. Er ist nicht regelmäßig, weil er zwei Arten von Flächen hat, aber an jeder Ecke treffen 1 Fünfeck und 2 Sechsecke zusammen: 108° + 120° + 120° = 348°, weniger als 360°, die Ecke schließt sich also. Dieselbe Winkelsumme hilft bei anderen Körpern.
Teste, was du gelernt hast
Wie viele regelmäßige Polyeder gibt es, und was erklärt das?
- a) Unendlich viele: Es gibt eines für jedes regelmäßige Vieleck.
- b) Drei: Tetraeder, Würfel und Oktaeder.
- c) Vier: eines für jede Flächenart, Dreieck, Quadrat, Fünfeck und Sechseck.
- d) Fünf: Die Winkel an einer Ecke müssen weniger als 360° ergeben, und das schaffen nur fünf Kombinationen.
Richtige Antwort: d) Fünf: Die Winkel an einer Ecke müssen weniger als 360° ergeben, und das schaffen nur fünf Kombinationen. — Ja: 3, 4 oder 5 Dreiecke, 3 Quadrate und 3 Fünfecke gehen, und keine andere Kombination bleibt unter 360°.
Welche Gruppe von Flächen kann an einer Ecke eines regelmäßigen Polyeders zusammentreffen? (Winkel: Quadrat 90°, Fünfeck 108°, Sechseck 120°.)
- a) 3 regelmäßige Sechsecke
- b) 3 regelmäßige Fünfecke
- c) 4 Quadrate
- d) 4 regelmäßige Fünfecke
Richtige Antwort: b) 3 regelmäßige Fünfecke — 3 × 108° = 324°, weniger als 360°. Die Ecke schließt sich, es ist die Ecke des Dodekaeders.
Rui legt 6 gleichseitige Dreiecke um einen Punkt: 6 × 60° = 360°. Was passiert, wenn er die Ecke schließen will?
- a) Es entsteht die Ecke des Ikosaeders.
- b) Es entsteht eine sechsseitige Pyramide mit gleichseitigen Flächen.
- c) Sie liegen flach und bilden ein Sechseck: Es gibt keine Ecke.
- d) Sie überlappen sich, weil 360° zu viel sind.
Richtige Antwort: c) Sie liegen flach und bilden ein Sechseck: Es gibt keine Ecke. — Richtig: 360° sind eine volle Drehung, es bleibt nichts, um die Flächen aufzurichten. Die Ecke eines Polyeders braucht weniger als 360°.
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