Matematica classe 7: Perché esistono solo cinque poliedri regolari
Matematica, classe 7 (Portogallo): Somma gli angoli di un angolo e guarda, poligono per poligono, quali poliedri regolari possono esistere.
Un angolo deve chiudersi
In un vertice di un poliedro si incontrano almeno 3 facce, e gli angoli di quelle facce attorno al vertice devono sommare meno di 360°. Se sommano esattamente 360°, i pezzi restano piatti, come le piastrelle sul pavimento. Se sommano di più, non ci stanno. Gli angoli dei poligoni regolari sono: triangolo 60°, quadrato 90°, pentagono 108°, esagono 120°. Con questi numeri si decide quali poliedri regolari possono esistere.
Perché 360° è il confine
Immagina i poligoni attorno a un punto, sul tavolo. Con 360° coprono tutto intorno e restano piatti. Per sollevare un angolo deve mancare un pezzo di quell'angolo: è ciò che lascia inclinare le facce l'una verso l'altra. Più la somma è piccola, più l'angolo è acuto. Così «quanti poliedri regolari esistono?» si riduce a una somma di angoli, fatta poligono per poligono. La somma mostra che non ce ne possono essere altri; che i cinque esistano, si vede costruendoli.
Provare ogni poligono
Triangolo (60°): 3 facce fanno 180°, 4 fanno 240°, 5 fanno 300°, e vanno bene (tetraedro, ottaedro, icosaedro); 6 fanno 360°, piatto. Quadrato (90°): 3 fanno 270°, va bene (cubo); 4 fanno 360°, piatto. Pentagono (108°): 3 fanno 324°, va bene (dodecaedro); 4 fanno 432°, troppo. Esagono (120°): 3 fanno già 360°, piatto. Con 7 o più lati, 3 facce superano già 360°. Totale: 3 + 1 + 1 = 5.
360° «riempie» l'angolo
Metti 6 triangoli equilateri attorno a un punto: 6 × 60° = 360°. «Combacia perfettamente, deve venire un solido!» Ma viene un esagono piatto: tutti i triangoli restano nello stesso piano e non c'è nessun angolo. Lo stesso accade con 4 quadrati (4 × 90° = 360°) o 3 esagoni (3 × 120° = 360°). Così si piastrella un pavimento, non si costruisce un solido. L'angolo di un poliedro richiede meno di 360°.
Il pallone da calcio
Il pallone da calcio classico, bianco e nero, è un icosaedro troncato, uno dei solidi archimedei: 12 pentagoni e 20 esagoni regolari, con 60 vertici, 90 spigoli e 32 facce. Non è regolare, perché ha due tipi di facce, ma in ogni vertice si incontrano 1 pentagono e 2 esagoni: 108° + 120° + 120° = 348°, meno di 360°, quindi l'angolo si chiude. La stessa somma di angoli vale per altri solidi.
Metti alla prova quello che hai imparato
Quanti poliedri regolari esistono, e che cosa lo spiega?
- a) Infiniti: ce n'è uno per ogni poligono regolare.
- b) Tre: il tetraedro, il cubo e l'ottaedro.
- c) Quattro: uno per ogni tipo di faccia, triangolo, quadrato, pentagono ed esagono.
- d) Cinque: gli angoli in un vertice devono sommare meno di 360°, e solo cinque combinazioni ci riescono.
Risposta corretta: d) Cinque: gli angoli in un vertice devono sommare meno di 360°, e solo cinque combinazioni ci riescono. — Sì: 3, 4 o 5 triangoli, 3 quadrati e 3 pentagoni vanno bene, e nessun'altra combinazione resta sotto i 360°.
Quale gruppo di facce può incontrarsi in un vertice di un poliedro regolare? (Angoli: quadrato 90°, pentagono 108°, esagono 120°.)
- a) 3 esagoni regolari
- b) 3 pentagoni regolari
- c) 4 quadrati
- d) 4 pentagoni regolari
Risposta corretta: b) 3 pentagoni regolari — 3 × 108° = 324°, meno di 360°. L'angolo si chiude, ed è l'angolo del dodecaedro.
Rui mette 6 triangoli equilateri attorno a un punto: 6 × 60° = 360°. Cosa succede quando prova a chiudere l'angolo?
- a) Viene l'angolo dell'icosaedro.
- b) Fa una piramide esagonale con facce equilatere.
- c) Restano piatti e formano un esagono: non c'è nessun angolo.
- d) Si sovrappongono, perché 360° è troppo.
Risposta corretta: c) Restano piatti e formano un esagono: non c'è nessun angolo. — Esatto: 360° è un giro completo, quindi non resta nulla per sollevare le facce. L'angolo di un poliedro richiede meno di 360°.
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