Matemáticas 7.º curso: Por qué solo existen cinco poliedros regulares
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Suma los ángulos de una esquina y mira, polígono a polígono, qué poliedros regulares pueden existir.
Una esquina tiene que cerrarse
En un vértice de un poliedro se juntan al menos 3 caras, y los ángulos de esas caras alrededor del vértice deben sumar menos de 360°. Si suman exactamente 360°, las piezas quedan planas, como baldosas en el suelo. Si suman más, no caben. Los ángulos de los polígonos regulares son: triángulo 60°, cuadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°. Con estos números se decide qué poliedros regulares pueden existir.
Por qué 360° es la frontera
Imagina los polígonos alrededor de un punto, sobre la mesa. Con 360° cubren todo a su alrededor y quedan planos. Para levantar una esquina tiene que faltar un trozo de ese ángulo: es lo que deja que las caras se inclinen unas hacia otras. Cuanto menor la suma, más puntiaguda la esquina. Así «¿cuántos poliedros regulares existen?» se reduce a una suma de ángulos, hecha polígono a polígono. La suma muestra que no puede haber más; que los cinco existen, se ve construyéndolos.
Probar cada polígono
Triángulo (60°): 3 caras dan 180°, 4 dan 240°, 5 dan 300°, y sirven (tetraedro, octaedro, icosaedro); 6 dan 360°, plano. Cuadrado (90°): 3 dan 270°, sirve (cubo); 4 dan 360°, plano. Pentágono (108°): 3 dan 324°, sirve (dodecaedro); 4 dan 432°, demasiado. Hexágono (120°): 3 ya dan 360°, plano. Con 7 o más lados, 3 caras ya pasan de 360°. Total: 3 + 1 + 1 = 5.
360° «llena» la esquina
Pon 6 triángulos equiláteros alrededor de un punto: 6 × 60° = 360°. «¡Encaja perfecto, tiene que salir un sólido!» Pero sale un hexágono plano: todos los triángulos quedan en un mismo plano y no hay esquina. Lo mismo pasa con 4 cuadrados (4 × 90° = 360°) o 3 hexágonos (3 × 120° = 360°). Así se embaldosa un suelo, no así se construye un sólido. La esquina de un poliedro necesita menos de 360°.
El balón de fútbol
El balón de fútbol clásico, en blanco y negro, es un icosaedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos: 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares, con 60 vértices, 90 aristas y 32 caras. No es regular, porque tiene dos tipos de caras, pero en cada vértice se encuentran 1 pentágono y 2 hexágonos: 108° + 120° + 120° = 348°, menos de 360°, así que la esquina se cierra. La misma suma de ángulos sirve para otros sólidos.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Cuántos poliedros regulares existen, y qué lo explica?
- a) Infinitos: hay uno por cada polígono regular.
- b) Tres: el tetraedro, el cubo y el octaedro.
- c) Cuatro: uno por cada tipo de cara, triángulo, cuadrado, pentágono y hexágono.
- d) Cinco: los ángulos en un vértice deben sumar menos de 360°, y solo cinco combinaciones lo consiguen.
Respuesta correcta: d) Cinco: los ángulos en un vértice deben sumar menos de 360°, y solo cinco combinaciones lo consiguen. — Sí: 3, 4 o 5 triángulos, 3 cuadrados y 3 pentágonos sirven, y ninguna otra combinación queda por debajo de 360°.
¿Qué grupo de caras puede juntarse en un vértice de un poliedro regular? (Ángulos: cuadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°.)
- a) 3 hexágonos regulares
- b) 3 pentágonos regulares
- c) 4 cuadrados
- d) 4 pentágonos regulares
Respuesta correcta: b) 3 pentágonos regulares — 3 × 108° = 324°, menos de 360°. La esquina se cierra, y es la esquina del dodecaedro.
Rui pone 6 triángulos equiláteros alrededor de un punto: 6 × 60° = 360°. ¿Qué pasa cuando intenta cerrar la esquina?
- a) Sale la esquina del icosaedro.
- b) Hace una pirámide hexagonal de caras equiláteras.
- c) Quedan planos y forman un hexágono: no hay esquina.
- d) Se solapan, porque 360° es demasiado.
Respuesta correcta: c) Quedan planos y forman un hexágono: no hay esquina. — Correcto: 360° es una vuelta completa, así que no sobra nada para levantar las caras. La esquina de un poliedro necesita menos de 360°.
Sigue explorando
Otros idiomas
Cargando MyLeoNes™…