Matemática 7.º ano: Ângulos alternos internos e ângulos verticalmente opostos
Matemática, 7.º ano (Portugal): Que ângulos são iguais quando duas retas se cruzam e quando uma secante corta duas paralelas, e porquê.
Dois pares que fazem ângulos iguais
Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos. Os que ficam frente a frente, no vértice, são verticalmente opostos e têm a mesma amplitude. Agora duas retas paralelas cortadas por uma secante: surgem oito ângulos. Os alternos internos ficam entre as paralelas e em lados opostos da secante, um em cada reta, e têm a mesma amplitude. Se as retas não forem paralelas, isto deixa de ser verdade para os alternos internos. Os verticalmente opostos, esses, são iguais sempre que duas retas se cruzam.
Porque é que são iguais
Verticalmente opostos: se um ângulo a e o seu vizinho b formam um ângulo raso, a + b = 180°; o outro vizinho c também cumpre b + c = 180°. Então a = 180° − b = c. Alternos internos: vê-se dobrando papel ou arrastando retas em geometria dinâmica, e é o que justifica que os ângulos de um triângulo somam 180°. Por um vértice traça-se a paralela ao lado oposto: dois dos ângulos aí formados são alternos internos de dois ângulos do triângulo, e os três juntos formam um ângulo raso.
Um caso: duas paralelas e uma secante
Duas paralelas r e s são cortadas por uma secante t, nos pontos P (em r) e Q (em s). Entre as paralelas, o ângulo em P à direita da secante mede 64°. O seu alterno interno é o ângulo em Q, entre as paralelas e à esquerda da secante: também mede 64°. O vizinho de cada um deles, sobre a mesma reta, mede 180° − 64° = 116°, e os verticalmente opostos repetem esses valores. Em cada ponto há então dois ângulos de 64° e dois de 116°. Confirma: 4 × 64° + 4 × 116° = 256° + 464° = 720°, duas voltas completas.
A armadilha: só entre paralelas, e só o par certo
Duas confusões razoáveis. Primeira: dar por iguais dois ângulos que parecem alternos internos sem saber se as retas são paralelas. Se medires 64° num e 70° no outro, as retas não são paralelas: a igualdade só vale para paralelas. Segunda: escolher o par errado. Os dois ângulos internos do mesmo lado da secante não são iguais: no exemplo, 64° e 116° somam 180°. Antes de dizeres «são iguais», pergunta: estão entre as paralelas? Em lados opostos da secante?
Onde vês isto
Quando abres uma tesoura, o ângulo entre os cabos é verticalmente oposto ao ângulo entre as lâminas, por isso as lâminas abrem tanto quanto os cabos. Onde um caminho corta os dois lados paralelos de uma rua, faz com eles ângulos alternos internos iguais. Em geometria dinâmica, como o GeoGebra, podes arrastar a secante e ver os ângulos mudarem em conjunto, sem deixarem de ser iguais.
Testa o que aprendeste
Duas retas cruzam-se e formam quatro ângulos. Um deles mede 50°. Quanto medem os outros três?
- a) 50°, 50° e 50°
- b) 50°, 130° e 130°
- c) 50°, 40° e 40°
- d) 130°, 130° e 130°
Resposta certa: b) 50°, 130° e 130° — Certo: o oposto mede 50° e cada vizinho mede 180° − 50° = 130°. Confirma: 50 + 50 + 130 + 130 = 360°.
Duas paralelas são cortadas por uma secante. Entre as paralelas, um ângulo em P mede 72°. Em Q há dois ângulos entre as paralelas, um de cada lado da secante; um deles é o alterno interno de 72°. Quanto mede o outro?
- a) 72°
- b) 18°
- c) 108°
- d) 288°
Resposta certa: c) 108° — Certo: o alterno interno mede 72° e os dois ângulos em Q formam um ângulo raso, por isso o outro mede 180° − 72° = 108°.
Duas paralelas são cortadas por uma secante em P e Q. Em P, o ângulo entre as paralelas, à direita da secante, mede 64°. O Rui diz que o ângulo em Q entre as paralelas, também à direita, mede 64°. Tem razão?
- a) Sim: com retas paralelas, todos os ângulos entre elas são iguais
- b) Não: mede 116°; só o alterno interno, do outro lado da secante, mede 64°
- c) Não: mede 26°, o complementar de 64°
- d) Sim: são ângulos verticalmente opostos
Resposta certa: b) Não: mede 116°; só o alterno interno, do outro lado da secante, mede 64° — Certo: o alterno interno (à esquerda da secante) mede 64°, logo o da direita, vizinho dele na reta s, mede 180° − 64° = 116°.
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