Mathématiques 7e année : Angles alternes-internes et angles opposés par le sommet
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Quels angles sont égaux quand deux droites se croisent et quand une sécante coupe deux parallèles, et pourquoi.
Deux paires qui font des angles égaux
Quand deux droites se croisent, elles forment quatre angles. Ceux qui se font face au sommet sont opposés par le sommet et ont la même mesure. Prends maintenant deux droites parallèles coupées par une sécante : huit angles apparaissent. Les angles alternes-internes sont entre les parallèles, de part et d'autre de la sécante, un sur chaque droite, et ils ont la même mesure. Si les droites ne sont pas parallèles, cela n'est plus vrai pour les alternes-internes. Les angles opposés par le sommet, eux, sont égaux dès que deux droites se croisent.
Pourquoi ils sont égaux
Opposés par le sommet : si un angle a et son voisin b forment un angle plat, a + b = 180° ; l'autre voisin c vérifie aussi b + c = 180°. Donc a = 180° − b = c. Alternes-internes : on le voit en pliant du papier ou en déplaçant des droites en géométrie dynamique, et c'est ce qui justifie que les angles d'un triangle font 180°. Par un sommet, on trace la parallèle au côté opposé : deux des angles formés là sont alternes-internes avec deux angles du triangle, et les trois ensemble forment un angle plat.
Un cas : deux parallèles et une sécante
Deux parallèles r et s sont coupées par une sécante t en P (sur r) et Q (sur s). Entre les parallèles, l'angle en P à droite de la sécante mesure 64°. Son alterne-interne est l'angle en Q, entre les parallèles et à gauche de la sécante : il mesure aussi 64°. Le voisin de chacun, sur la même droite, mesure 180° − 64° = 116°, et les angles opposés par le sommet reprennent ces valeurs. En chaque point, il y a donc deux angles de 64° et deux de 116°. Vérifie : 4 × 64° + 4 × 116° = 256° + 464° = 720°, deux tours complets.
Le piège : seulement entre parallèles, et seulement la bonne paire
Deux confusions raisonnables. Première : croire égaux deux angles qui ressemblent à des alternes-internes sans savoir si les droites sont parallèles. Si tu mesures 64° pour l'un et 70° pour l'autre, les droites ne sont pas parallèles : l'égalité ne vaut que pour des parallèles. Seconde : prendre la mauvaise paire. Les deux angles intérieurs du même côté de la sécante ne sont pas égaux : dans l'exemple, 64° et 116° font 180°. Avant de dire « ils sont égaux », demande-toi : entre les parallèles ? De part et d'autre de la sécante ?
Où tu vois cela
Quand tu ouvres des ciseaux, l'angle entre les manches est opposé par le sommet à l'angle entre les lames : les lames s'ouvrent donc exactement autant que les manches. Là où un chemin coupe les deux bords parallèles d'une rue, il forme avec eux des angles alternes-internes égaux. En géométrie dynamique, comme GeoGebra, tu peux déplacer la sécante et voir les angles changer ensemble sans cesser d'être égaux.
Teste ce que tu as appris
Deux droites se croisent et forment quatre angles. L'un d'eux mesure 50°. Que mesurent les trois autres ?
- a) 50°, 50° et 50°
- b) 50°, 130° et 130°
- c) 50°, 40° et 40°
- d) 130°, 130° et 130°
Bonne réponse: b) 50°, 130° et 130° — Exact : l'angle opposé mesure 50° et chaque voisin 180° − 50° = 130°. Vérifie : 50 + 50 + 130 + 130 = 360°.
Deux parallèles sont coupées par une sécante. Entre les parallèles, un angle en P mesure 72°. En Q, il y a deux angles entre les parallèles, un de chaque côté de la sécante ; l'un est l'alterne-interne de 72°. Combien mesure l'autre ?
- a) 72°
- b) 18°
- c) 108°
- d) 288°
Bonne réponse: c) 108° — Exact : l'alterne-interne mesure 72° et les deux angles en Q forment un angle plat, donc l'autre mesure 180° − 72° = 108°.
Deux parallèles sont coupées par une sécante en P et Q. En P, l'angle entre les parallèles, à droite de la sécante, mesure 64°. Rui dit que l'angle en Q entre les parallèles, aussi à droite, mesure 64° lui aussi. A-t-il raison ?
- a) Oui : avec des droites parallèles, tous les angles entre elles sont égaux
- b) Non : il mesure 116° ; seul l'alterne-interne, de l'autre côté de la sécante, mesure 64°
- c) Non : il mesure 26°, le complémentaire de 64°
- d) Oui : ce sont des angles opposés par le sommet
Bonne réponse: b) Non : il mesure 116° ; seul l'alterne-interne, de l'autre côté de la sécante, mesure 64° — Exact : l'alterne-interne (à gauche de la sécante) mesure 64°, donc celui de droite, son voisin sur la droite s, mesure 180° − 64° = 116°.
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