Matematica classe 7: Angoli alterni interni e angoli opposti al vertice
Matematica, classe 7 (Portogallo): Quali angoli sono uguali quando due rette si incrociano e quando una trasversale taglia due parallele, e perché.
Due coppie che formano angoli uguali
Quando due rette si incrociano formano quattro angoli. Quelli che stanno uno di fronte all'altro nel vertice sono opposti al vertice e hanno la stessa ampiezza. Ora due rette parallele tagliate da una trasversale: compaiono otto angoli. Gli alterni interni stanno tra le parallele, da parti opposte della trasversale, uno su ciascuna retta, e hanno la stessa ampiezza. Se le rette non sono parallele, per gli alterni interni questo non vale più. Gli opposti al vertice, invece, sono uguali ogni volta che due rette si incrociano.
Perché sono uguali
Opposti al vertice: se un angolo a e il suo vicino b formano un angolo piatto, a + b = 180°; anche l'altro vicino c soddisfa b + c = 180°. Quindi a = 180° − b = c. Alterni interni: lo si vede piegando la carta o trascinando rette in geometria dinamica, ed è ciò che giustifica che gli angoli di un triangolo sommano 180°. Per un vertice si traccia la parallela al lato opposto: due degli angoli lì formati sono alterni interni con due angoli del triangolo, e i tre insieme formano un angolo piatto.
Un caso: due parallele e una trasversale
Due parallele r e s sono tagliate da una trasversale t nei punti P (su r) e Q (su s). Tra le parallele, l'angolo in P a destra della trasversale misura 64°. Il suo alterno interno è l'angolo in Q, tra le parallele e a sinistra della trasversale: misura anch'esso 64°. Il vicino di ciascuno, sulla stessa retta, misura 180° − 64° = 116°, e gli opposti al vertice ripetono quei valori. In ogni punto ci sono quindi due angoli di 64° e due di 116°. Verifica: 4 × 64° + 4 × 116° = 256° + 464° = 720°, due giri completi.
La trappola: solo tra parallele, e solo la coppia giusta
Due confusioni ragionevoli. Prima: dare per uguali due angoli che sembrano alterni interni senza sapere se le rette sono parallele. Se misuri 64° in uno e 70° nell'altro, le rette non sono parallele: l'uguaglianza vale solo per le parallele. Seconda: scegliere la coppia sbagliata. I due angoli interni dalla stessa parte della trasversale non sono uguali: nell'esempio, 64° e 116° sommano 180°. Prima di dire «sono uguali», chiediti: tra le parallele? Da parti opposte della trasversale?
Dove lo vedi
Quando apri un paio di forbici, l'angolo tra i manici è opposto al vertice rispetto all'angolo tra le lame, quindi le lame si aprono esattamente quanto i manici. Dove un sentiero taglia i due bordi paralleli di una strada, forma con essi angoli alterni interni uguali. In geometria dinamica, come GeoGebra, puoi trascinare la trasversale e vedere gli angoli cambiare insieme senza smettere di essere uguali.
Metti alla prova quello che hai imparato
Due rette si incrociano e formano quattro angoli. Uno di essi misura 50°. Quanto misurano gli altri tre?
- a) 50°, 50° e 50°
- b) 50°, 130° e 130°
- c) 50°, 40° e 40°
- d) 130°, 130° e 130°
Risposta corretta: b) 50°, 130° e 130° — Giusto: l'opposto misura 50° e ogni vicino 180° − 50° = 130°. Verifica: 50 + 50 + 130 + 130 = 360°.
Due parallele sono tagliate da una trasversale. Tra le parallele, un angolo in P misura 72°. In Q ci sono due angoli tra le parallele, uno per lato della trasversale; uno è l'alterno interno di 72°. Quanto misura l'altro?
- a) 72°
- b) 18°
- c) 108°
- d) 288°
Risposta corretta: c) 108° — Giusto: l'alterno interno misura 72° e i due angoli in Q formano un angolo piatto, quindi l'altro misura 180° − 72° = 108°.
Due parallele sono tagliate da una trasversale in P e Q. In P, l'angolo tra le parallele, a destra della trasversale, misura 64°. Rui dice che l'angolo in Q tra le parallele, anch'esso a destra, misura 64°. Ha ragione?
- a) Sì: con rette parallele, tutti gli angoli tra di esse sono uguali
- b) No: misura 116°; solo l'alterno interno, dall'altra parte della trasversale, misura 64°
- c) No: misura 26°, il complementare di 64°
- d) Sì: sono angoli opposti al vertice
Risposta corretta: b) No: misura 116°; solo l'alterno interno, dall'altra parte della trasversale, misura 64° — Giusto: l'alterno interno (a sinistra della trasversale) misura 64°, quindi quello di destra, suo vicino sulla retta s, misura 180° − 64° = 116°.
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