Mathematik Klasse 7: Wechselwinkel und Scheitelwinkel
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Welche Winkel gleich groß sind, wenn sich zwei Geraden schneiden und wenn eine Gerade zwei Parallelen schneidet, und warum.
Zwei Paare mit gleich großen Winkeln
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen vier Winkel. Die, die sich an der Ecke gegenüberliegen, sind Scheitelwinkel und gleich groß. Nimm nun zwei Parallelen, die von einer Geraden geschnitten werden: Es entstehen acht Winkel. Die Wechselwinkel liegen zwischen den Parallelen, auf verschiedenen Seiten der schneidenden Geraden, je einer an jeder Parallelen, und sind gleich groß. Sind die Geraden nicht parallel, gilt das für Wechselwinkel nicht mehr. Scheitelwinkel dagegen sind immer gleich, wenn sich zwei Geraden schneiden.
Warum sie gleich sind
Scheitelwinkel: Bilden ein Winkel a und sein Nachbar b einen gestreckten Winkel, ist a + b = 180°; auch der andere Nachbar c erfüllt b + c = 180°. Also ist a = 180° − b = c. Wechselwinkel: Man sieht es beim Falten von Papier oder beim Verschieben von Geraden in dynamischer Geometrie, und es begründet, warum die Winkel eines Dreiecks 180° ergeben. Durch eine Ecke zieht man die Parallele zur Gegenseite: Zwei der dortigen Winkel sind Wechselwinkel zu zwei Dreieckswinkeln, und alle drei zusammen bilden einen gestreckten Winkel.
Ein Beispiel: zwei Parallelen und eine Gerade
Zwei Parallelen r und s werden von einer Geraden t in P (auf r) und Q (auf s) geschnitten. Zwischen den Parallelen misst der Winkel bei P rechts von t 64°. Sein Wechselwinkel ist der Winkel bei Q zwischen den Parallelen links von t: Er misst ebenfalls 64°. Der Nachbarwinkel jedes dieser Winkel auf derselben Geraden misst 180° − 64° = 116°, und die Scheitelwinkel wiederholen diese Werte. An jedem Punkt gibt es also zwei Winkel von 64° und zwei von 116°. Probe: 4 × 64° + 4 × 116° = 256° + 464° = 720°, zwei volle Drehungen.
Die Falle: nur bei Parallelen und nur das richtige Paar
Zwei nachvollziehbare Verwechslungen. Erstens: zwei Winkel, die wie Wechselwinkel aussehen, für gleich zu halten, ohne zu wissen, ob die Geraden parallel sind. Misst du 64° und 70°, sind die Geraden nicht parallel: Die Gleichheit gilt nur bei Parallelen. Zweitens: das falsche Paar zu wählen. Die zwei Innenwinkel auf derselben Seite der schneidenden Geraden sind nicht gleich: im Beispiel ergeben 64° und 116° zusammen 180°. Frag dich vor „sie sind gleich“: zwischen den Parallelen? Auf verschiedenen Seiten der Geraden?
Wo du das siehst
Wenn du eine Schere öffnest, ist der Winkel zwischen den Griffen ein Scheitelwinkel zum Winkel zwischen den Klingen; die Klingen öffnen sich also genauso weit wie die Griffe. Wo ein Weg die beiden parallelen Ränder einer Straße kreuzt, bildet er mit ihnen gleich große Wechselwinkel. In dynamischer Geometrie, etwa GeoGebra, kannst du die schneidende Gerade ziehen und zusehen, wie sich die Winkel gemeinsam ändern und dabei gleich bleiben.
Teste, was du gelernt hast
Zwei Geraden schneiden sich und bilden vier Winkel. Einer misst 50°. Wie groß sind die anderen drei?
- a) 50°, 50° und 50°
- b) 50°, 130° und 130°
- c) 50°, 40° und 40°
- d) 130°, 130° und 130°
Richtige Antwort: b) 50°, 130° und 130° — Richtig: Der Scheitelwinkel misst 50°, jeder Nachbar 180° − 50° = 130°. Probe: 50 + 50 + 130 + 130 = 360°.
Zwei Parallelen werden von einer Geraden geschnitten. Zwischen den Parallelen misst ein Winkel bei P 72°. Bei Q liegen zwei Winkel zwischen den Parallelen, je einer auf jeder Seite der Geraden; einer ist der Wechselwinkel zu 72°. Wie groß ist der andere?
- a) 72°
- b) 18°
- c) 108°
- d) 288°
Richtige Antwort: c) 108° — Richtig: Der Wechselwinkel misst 72°, und die zwei Winkel bei Q bilden einen gestreckten Winkel, also misst der andere 180° − 72° = 108°.
Zwei Parallelen werden von einer Geraden in P und Q geschnitten. Bei P misst der Winkel zwischen den Parallelen rechts der Geraden 64°. Rui sagt, der Winkel bei Q zwischen den Parallelen, ebenfalls rechts, messe auch 64°. Hat er recht?
- a) Ja: bei Parallelen sind alle Winkel zwischen ihnen gleich
- b) Nein: Er misst 116°; nur der Wechselwinkel auf der anderen Seite der Geraden misst 64°
- c) Nein: Er misst 26°, das Komplement von 64°
- d) Ja: Es sind Scheitelwinkel
Richtige Antwort: b) Nein: Er misst 116°; nur der Wechselwinkel auf der anderen Seite der Geraden misst 64° — Richtig: Der Wechselwinkel (links der Geraden) misst 64°, also misst der rechte, sein Nachbar auf der Geraden s, 180° − 64° = 116°.
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