Matemáticas 7.º curso: Ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Qué ángulos son iguales cuando dos rectas se cruzan y cuando una secante corta dos paralelas, y por qué.
Dos pares que forman ángulos iguales
Cuando dos rectas se cruzan, forman cuatro ángulos. Los que quedan frente a frente, en el vértice, son opuestos por el vértice y tienen la misma amplitud. Ahora dos rectas paralelas cortadas por una secante: aparecen ocho ángulos. Los alternos internos quedan entre las paralelas y en lados opuestos de la secante, uno en cada recta, y tienen la misma amplitud. Si las rectas no son paralelas, eso deja de ser verdad para los alternos internos. Los opuestos por el vértice, en cambio, son iguales siempre que dos rectas se cruzan.
Por qué son iguales
Opuestos por el vértice: si un ángulo a y su vecino b forman un ángulo llano, a + b = 180°; el otro vecino c también cumple b + c = 180°. Entonces a = 180° − b = c. Alternos internos: se ve doblando papel o arrastando rectas en geometría dinámica, y es lo que justifica que los ángulos de un triángulo suman 180°. Por un vértice se traza la paralela al lado opuesto: dos de los ángulos que se forman ahí son alternos internos de dos ángulos del triángulo, y los tres juntos forman un ángulo llano.
Un caso: dos paralelas y una secante
Dos paralelas r y s son cortadas por una secante t en los puntos P (en r) y Q (en s). Entre las paralelas, el ángulo en P a la derecha de la secante mide 64°. Su alterno interno es el ángulo en Q, entre las paralelas y a la izquierda de la secante: también mide 64°. El vecino de cada uno, sobre la misma recta, mide 180° − 64° = 116°, y los opuestos por el vértice repiten esos valores. En cada punto hay entonces dos ángulos de 64° y dos de 116°. Comprueba: 4 × 64° + 4 × 116° = 256° + 464° = 720°, dos vueltas completas.
La trampa: solo entre paralelas, y solo el par correcto
Dos confusiones razonables. Primera: dar por iguales dos ángulos que parecen alternos internos sin saber si las rectas son paralelas. Si mides 64° en uno y 70° en el otro, las rectas no son paralelas: la igualdad solo vale para paralelas. Segunda: elegir el par equivocado. Los dos ángulos interiores del mismo lado de la secante no son iguales: en el ejemplo, 64° y 116° suman 180°. Antes de decir «son iguales», pregunta: ¿están entre las paralelas? ¿En lados opuestos de la secante?
Dónde lo ves
Cuando abres unas tijeras, el ángulo entre los mangos es opuesto por el vértice al ángulo entre las hojas, así que las hojas se abren exactamente tanto como los mangos. Donde un camino cruza los dos lados paralelos de una calle, forma con ellos ángulos alternos internos iguales. En geometría dinámica, como GeoGebra, puedes arrastrar la secante y ver cómo los ángulos cambian a la vez sin dejar de ser iguales.
Pon a prueba lo que has aprendido
Dos rectas se cruzan y forman cuatro ángulos. Uno de ellos mide 50°. ¿Cuánto miden los otros tres?
- a) 50°, 50° y 50°
- b) 50°, 130° y 130°
- c) 50°, 40° y 40°
- d) 130°, 130° y 130°
Respuesta correcta: b) 50°, 130° y 130° — Correcto: el opuesto mide 50° y cada vecino mide 180° − 50° = 130°. Comprueba: 50 + 50 + 130 + 130 = 360°.
Dos paralelas son cortadas por una secante. Entre las paralelas, un ángulo en P mide 72°. En Q hay dos ángulos entre las paralelas, uno a cada lado de la secante; uno de ellos es el alterno interno de 72°. ¿Cuánto mide el otro?
- a) 72°
- b) 18°
- c) 108°
- d) 288°
Respuesta correcta: c) 108° — Correcto: el alterno interno mide 72° y los dos ángulos en Q forman un ángulo llano, así que el otro mide 180° − 72° = 108°.
Dos paralelas son cortadas por una secante en P y Q. En P, el ángulo entre las paralelas, a la derecha de la secante, mide 64°. Rui dice que el ángulo en Q entre las paralelas, también a la derecha, mide 64°. ¿Tiene razón?
- a) Sí: con rectas paralelas, todos los ángulos entre ellas son iguales
- b) No: mide 116°; solo el alterno interno, al otro lado de la secante, mide 64°
- c) No: mide 26°, el complementario de 64°
- d) Sí: son ángulos opuestos por el vértice
Respuesta correcta: b) No: mide 116°; solo el alterno interno, al otro lado de la secante, mide 64° — Correcto: el alterno interno (a la izquierda de la secante) mide 64°, luego el de la derecha, su vecino en la recta s, mide 180° − 64° = 116°.
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