Regularidades nas faces, arestas e vértices dos poliedros — 11–13
Conta, descobre uma regularidade, escreve-a com uma letra, testa-a e explica porque funciona.
Uma regra para uma classe inteira de sólidos
Uma conjetura é uma regra que suspeitas ser sempre verdadeira. Toma os prismas cuja base tem n lados. Vértices: n em cada base, logo 2 × n. Arestas: n numa base, n na outra e n arestas laterais, logo 3 × n. Faces: n faces laterais e 2 bases, logo n + 2. Podes dizê-lo por palavras ou com a letra n. Depois testas noutros prismas e explicas porque funciona.
Contar uma vez, responder por todos os prismas
Contar as arestas uma a uma serve para um sólido pequeno, mas não para um prisma com base de 10 lados. Uma regra dá a resposta logo. E testar não basta: uma regra que funciona em cinco prismas pode falhar no sexto. Explicar porquê (cada vértice de uma base tem um par na outra, por isso o dobro) mostra que vale para todos. Outra classe tem outra regra: uma pirâmide com base de n lados tem n + 1 vértices e 2 × n arestas.
De uma tabela a uma regra
Base com n = 3, 4, 5, 6 lados. Vértices: 6, 8, 10, 12. Arestas: 9, 12, 15, 18. Faces: 5, 6, 7, 8. Regularidade: V = 2 × n, A = 3 × n, F = n + 2. Teste com base de 10 lados: V = 20, A = 30, F = 12. Confirma as arestas a explicar: 10 + 10 + 10 = 30. Uma pirâmide pentagonal, pela sua regra, tem 5 + 5 = 10 arestas e 5 + 1 = 6 vértices.
Um exemplo não é uma prova
Um prisma triangular tem 6 vértices e 9 arestas. Alguém vê isto e conjetura «arestas = vértices + 3». Encaixa, e parece certo. Mas um cubo tem 8 vértices e 12 arestas: 8 + 3 = 11, e não 12. A conjetura falha. Uma conjetura construída com um só caso pode ser mera coincidência. Testa sempre noutros sólidos e procura a razão que a faz funcionar.
Construir modelos com palhinhas
Se construíres um modelo de um prisma pentagonal com palhinhas e plasticina, a regra diz-te o que comprar antes de começar: 2 × 5 = 10 bolas de plasticina para os vértices e 3 × 5 = 15 palhinhas para as arestas. Tem 5 + 2 = 7 faces. A mesma ideia serve para planear qualquer kit ou maqueta: descobre a regra uma vez e usa-a para qualquer base.
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