Regolarità nelle facce, spigoli e vertici dei poliedri — 11–13
Conta, scopri una regolarità, scrivila con una lettera, mettila alla prova e spiega perché funziona.
Una regola per un'intera classe di solidi
Una congettura è una regola che sospetti sia sempre vera. Prendi i prismi la cui base ha n lati. Vertici: n in ogni base, quindi 2 × n. Spigoli: n in una base, n nell'altra e n spigoli laterali, quindi 3 × n. Facce: n facce laterali e 2 basi, quindi n + 2. Puoi dirlo a parole o con la lettera n. Poi la metti alla prova su altri prismi e spieghi perché funziona.
Contare una volta, rispondere per tutti i prismi
Contare gli spigoli uno a uno va bene per un solido piccolo, non per un prisma con base di 10 lati. Una regola dà subito la risposta. E provare non basta: una regola che funziona su cinque prismi potrebbe fallire sul sesto. Spiegare perché (ogni vertice di una base ha un compagno nell'altra, quindi il doppio) mostra che vale per tutti. Un'altra classe ha un'altra regola: una piramide con base di n lati ha n + 1 vertici e 2 × n spigoli.
Da una tabella a una regola
Base con n = 3, 4, 5, 6 lati. Vertici: 6, 8, 10, 12. Spigoli: 9, 12, 15, 18. Facce: 5, 6, 7, 8. Regolarità: V = 2 × n, S = 3 × n, F = n + 2. Prova con base di 10 lati: V = 20, S = 30, F = 12. Controlla gli spigoli spiegando: 10 + 10 + 10 = 30. Una piramide pentagonale, con la sua regola, ha 5 + 5 = 10 spigoli e 5 + 1 = 6 vertici.
Un esempio non è una prova
Un prisma triangolare ha 6 vertici e 9 spigoli. Qualcuno lo vede e congettura «spigoli = vertici + 3». Torna, e sembra giusto. Ma un cubo ha 8 vertici e 12 spigoli: 8 + 3 = 11, non 12. La congettura fallisce. Una congettura costruita su un solo caso può essere una semplice coincidenza. Mettila sempre alla prova su altri solidi e cerca la ragione per cui funziona.
Costruire modelli con le cannucce
Se costruisci un modello di prisma pentagonale con cannucce e plastilina, la regola ti dice cosa comprare prima di iniziare: 2 × 5 = 10 palline di plastilina per i vertici e 3 × 5 = 15 cannucce per gli spigoli. Ha 5 + 2 = 7 facce. La stessa idea serve a pianificare qualsiasi kit o modellino: trova la regola una volta e usala per qualsiasi base.
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