Régularités dans les faces, arêtes et sommets des polyèdres — 11–13
Compte, repère une régularité, écris-la avec une lettre, teste-la et explique pourquoi elle marche.
Une règle pour toute une classe de solides
Une conjecture est une règle que tu soupçonnes toujours vraie. Prends les prismes dont la base a n côtés. Sommets : n dans chaque base, donc 2 × n. Arêtes : n dans une base, n dans l'autre et n arêtes latérales, donc 3 × n. Faces : n faces latérales et 2 bases, donc n + 2. Tu peux le dire avec des mots ou avec la lettre n. Ensuite tu le testes sur d'autres prismes et tu expliques pourquoi ça marche.
Compter une fois, répondre pour tous les prismes
Compter les arêtes une à une convient pour un petit solide, pas pour un prisme à base de 10 côtés. Une règle donne la réponse d'un coup. Et tester ne suffit pas : une règle qui marche sur cinq prismes peut échouer sur le sixième. Expliquer pourquoi (chaque sommet d'une base a un partenaire dans l'autre, d'où le double) montre qu'elle vaut pour tous. Une autre classe a une autre règle : une pyramide à base de n côtés a n + 1 sommets et 2 × n arêtes.
D'un tableau à une règle
Base à n = 3, 4, 5, 6 côtés. Sommets : 6, 8, 10, 12. Arêtes : 9, 12, 15, 18. Faces : 5, 6, 7, 8. Régularité : S = 2 × n, A = 3 × n, F = n + 2. Test avec une base à 10 côtés : S = 20, A = 30, F = 12. Vérifie les arêtes en expliquant : 10 + 10 + 10 = 30. Une pyramide pentagonale, selon sa propre règle, a 5 + 5 = 10 arêtes et 5 + 1 = 6 sommets.
Un exemple n'est pas une preuve
Un prisme triangulaire a 6 sommets et 9 arêtes. Quelqu'un le voit et conjecture « arêtes = sommets + 3 ». Ça colle, et ça paraît juste. Mais un cube a 8 sommets et 12 arêtes : 8 + 3 = 11, pas 12. La conjecture échoue. Une conjecture bâtie sur un seul cas peut être une simple coïncidence. Teste-la toujours sur d'autres solides et cherche la raison qui la fait marcher.
Construire des maquettes avec des pailles
Si tu construis une maquette de prisme pentagonal avec des pailles et de la pâte à modeler, la règle te dit quoi acheter avant de commencer : 2 × 5 = 10 boules de pâte pour les sommets et 3 × 5 = 15 pailles pour les arêtes. Il a 5 + 2 = 7 faces. La même idée sert à préparer n'importe quel kit ou maquette : trouve la règle une fois et utilise-la pour n'importe quelle base.
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