Muster bei Flächen, Kanten und Ecken von Polyedern — Mathematik, 11–13

Zähle, entdecke ein Muster, schreibe es mit einem Buchstaben, prüfe es und erkläre, warum es stimmt.

Eine Regel für eine ganze Klasse von Körpern

Eine Vermutung ist eine Regel, von der du glaubst, dass sie immer stimmt. Nimm Prismen, deren Grundfläche n Seiten hat. Ecken: n in jeder Grundfläche, also 2 × n. Kanten: n in der einen, n in der anderen und n Seitenkanten, also 3 × n. Flächen: n Seitenflächen und 2 Grundflächen, also n + 2. Du kannst es mit Worten oder mit dem Buchstaben n sagen. Dann prüfst du es an weiteren Prismen und erklärst, warum es stimmt.

Einmal zählen, für alle Prismen antworten

Kanten einzeln zu zählen geht bei einem kleinen Körper, aber nicht bei einem Prisma mit zehneckiger Grundfläche. Eine Regel liefert die Antwort sofort. Und Testen genügt nicht: Eine Regel, die bei fünf Prismen klappt, kann beim sechsten scheitern. Zu erklären, warum (jede Ecke der einen Grundfläche hat ein Gegenstück in der anderen, also das Doppelte), zeigt, dass sie für alle gilt. Eine andere Klasse hat eine andere Regel: Eine Pyramide mit n-eckiger Grundfläche hat n + 1 Ecken und 2 × n Kanten.

Von der Tabelle zur Regel

Grundfläche mit n = 3, 4, 5, 6 Seiten. Ecken: 6, 8, 10, 12. Kanten: 9, 12, 15, 18. Flächen: 5, 6, 7, 8. Muster: E = 2 × n, K = 3 × n, F = n + 2. Test mit zehneckiger Grundfläche: E = 20, K = 30, F = 12. Die Kanten begründest du so: 10 + 10 + 10 = 30. Eine fünfeckige Pyramide hat nach ihrer eigenen Regel 5 + 5 = 10 Kanten und 5 + 1 = 6 Ecken.

Ein Beispiel ist kein Beweis

Ein dreiseitiges Prisma hat 6 Ecken und 9 Kanten. Jemand sieht das und vermutet „Kanten = Ecken + 3“. Es passt und fühlt sich richtig an. Aber ein Würfel hat 8 Ecken und 12 Kanten: 8 + 3 = 11, nicht 12. Die Vermutung scheitert. Eine Vermutung aus nur einem Fall kann reiner Zufall sein. Prüfe sie immer an anderen Körpern und suche den Grund, warum sie stimmt.

Modelle mit Strohhalmen bauen

Wenn du ein Modell eines fünfseitigen Prismas aus Strohhalmen und Knete baust, sagt dir die Regel vor dem Start, was du brauchst: 2 × 5 = 10 Knetkugeln für die Ecken und 3 × 5 = 15 Strohhalme für die Kanten. Es hat 5 + 2 = 7 Flächen. Dieselbe Idee hilft bei jedem Bausatz oder Modell: Die Regel einmal finden und für jede Grundfläche nutzen.

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