Regularidades en las caras, aristas y vértices de los… — 11–13
Cuenta, descubre una regularidad, escríbela con una letra, pruébala y explica por qué funciona.
Una regla para toda una clase de sólidos
Una conjetura es una regla que sospechas que siempre es verdadera. Toma los prismas cuya base tiene n lados. Vértices: n en cada base, así que 2 × n. Aristas: n en una base, n en la otra y n aristas laterales, así que 3 × n. Caras: n caras laterales y 2 bases, así que n + 2. Puedes decirlo con palabras o con la letra n. Luego lo pruebas en más prismas y explicas por qué funciona.
Contar una vez, responder por todos los prismas
Contar las aristas una a una sirve para un sólido pequeño, pero no para un prisma con base de 10 lados. Una regla da la respuesta al instante. Y probar no basta: una regla que funciona en cinco prismas podría fallar en el sexto. Explicar por qué (cada vértice de una base tiene una pareja en la otra, por eso el doble) muestra que vale para todos. Otra clase tiene otra regla: una pirámide con base de n lados tiene n + 1 vértices y 2 × n aristas.
De una tabla a una regla
Base con n = 3, 4, 5, 6 lados. Vértices: 6, 8, 10, 12. Aristas: 9, 12, 15, 18. Caras: 5, 6, 7, 8. Regularidad: V = 2 × n, A = 3 × n, C = n + 2. Prueba con base de 10 lados: V = 20, A = 30, C = 12. Comprueba las aristas explicando: 10 + 10 + 10 = 30. Una pirámide pentagonal, por su propia regla, tiene 5 + 5 = 10 aristas y 5 + 1 = 6 vértices.
Un ejemplo no es una prueba
Un prisma triangular tiene 6 vértices y 9 aristas. Alguien lo ve y conjetura «aristas = vértices + 3». Encaja y parece correcto. Pero un cubo tiene 8 vértices y 12 aristas: 8 + 3 = 11, no 12. La conjetura falla. Una conjetura construida con un solo caso puede ser mera coincidencia. Pruébala siempre en otros sólidos y busca la razón que la hace funcionar.
Construir modelos con pajitas
Si construyes un modelo de un prisma pentagonal con pajitas y plastilina, la regla te dice qué comprar antes de empezar: 2 × 5 = 10 bolas de plastilina para los vértices y 3 × 5 = 15 pajitas para las aristas. Tiene 5 + 2 = 7 caras. La misma idea sirve para planificar cualquier kit o maqueta: encuentra la regla una vez y úsala para cualquier base.
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