Multiplicar e dividir potências: as regras — Matemática, 11–13
Mesma base: somam-se ou subtraem-se os expoentes. Mesmo expoente: multiplicam-se ou dividem-se as bases. E porque é que contar fatores o prova.
Quatro regras: mesma base, mesmo expoente
Mesma base: ao multiplicar, somam-se os expoentes; ao dividir, subtraem-se (o maior menos o menor). 2³ × 2⁴ = 2⁷ e 2⁷ : 2³ = 2⁴. Mesmo expoente: o expoente fica e multiplicam-se ou dividem-se as bases. 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³, e 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³, porque 12 : 4 é exata. Tem de haver base igual ou expoente igual: sem nenhum dos dois, não há regra.
Porque é que as regras funcionam: conta os fatores
Uma potência é uma lista de fatores iguais, por isso basta contá-los. 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2): são 3 + 4 = 7 fatores 2, logo 2⁷. Em 2⁷ : 2³, três dos sete fatores 2 cortam-se e sobram 7 − 3 = 4: 2⁴. Com o mesmo expoente, a ordem dos fatores não importa: 2³ × 5³ = (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10³. Nada disto depende do 2 nem do 5, por isso as regras valem para quaisquer bases naturais.
Quatro cálculos, uma regra em cada
(a) Mesma base, multiplicar: 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256. (b) Mesma base, dividir: 5⁹ : 5⁶ = 5⁹⁻⁶ = 5³ = 125. (c) Mesmo expoente, multiplicar: 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. (d) Mesmo expoente, dividir: 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Confirma a (d) sem a regra: 12³ = 1728, 4³ = 64 e 1728 : 64 = 27. A regra poupou-te um número grande.
A armadilha: mudar a base, ou usar a regra onde ela não vale
Erro frequente: 2³ × 2⁴ não é 4⁷ (a base mantém-se, não se multiplica) nem 2¹² (os expoentes somam-se, não se multiplicam). É 2⁷ = 128, enquanto 4⁷ = 16 384. Outro erro é usar as regras em tudo. 2³ × 3⁴ tem bases e expoentes diferentes, por isso nenhuma regra o simplifica: calcula 8 × 81 = 648. E 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 não é 2⁷: estas regras são só para multiplicar e dividir.
Onde vês isto fora da escola: números grandes sem esforço
Com potências de base 10, a regra poupa zeros: 1000 × 10 000 = 10³ × 10⁴ = 10⁷ = 10 000 000, e 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000. Ajuda também no cálculo mental: 25² × 4² = (25 × 4)² = 100² = 10 000, muito mais fácil do que 625 × 16. Num jogo em que os pontos duplicam a cada ronda, 10 rondas multiplicam-nos por 2¹⁰ = 1024; outras 10 rondas multiplicam outra vez, e 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576 no total.
Continua a explorar
Outras línguas
A carregar o MyLeoNes™…