Potenzen multiplizieren und dividieren: die Regeln — Mathematik, 11–13
Gleiche Basis: Exponenten addieren oder subtrahieren. Gleicher Exponent: Basen multiplizieren oder dividieren. Und warum das Zählen der Faktoren es beweist.
Vier Regeln: gleiche Basis, gleicher Exponent
Gleiche Basis: Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert (der größere minus der kleinere). 2³ · 2⁴ = 2⁷ und 2⁷ : 2³ = 2⁴. Gleicher Exponent: Der Exponent bleibt, und die Basen werden multipliziert oder dividiert. 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³, und 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³, weil 12 : 4 aufgeht. Basis oder Exponent muss übereinstimmen: Sonst gibt es keine Regel.
Warum die Regeln funktionieren: zähle die Faktoren
Eine Potenz ist eine Liste gleicher Faktoren, also zähle sie einfach. 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2): Das sind 3 + 4 = 7 Zweien, also 2⁷. Bei 2⁷ : 2³ kürzen sich drei der sieben Zweien weg, und es bleiben 7 − 3 = 4 übrig: 2⁴. Bei gleichem Exponenten spielt die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle: 2³ · 5³ = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 10³. Nichts davon hängt von 2 oder 5 ab, die Regeln gelten also für beliebige natürliche Basen.
Vier Rechnungen, je eine Regel
(a) Gleiche Basis, multiplizieren: 2⁵ · 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256. (b) Gleiche Basis, dividieren: 5⁹ : 5⁶ = 5⁹⁻⁶ = 5³ = 125. (c) Gleicher Exponent, multiplizieren: 2⁴ · 5⁴ = (2 · 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. (d) Gleicher Exponent, dividieren: 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Probe für (d) ohne Regel: 12³ = 1728, 4³ = 64 und 1728 : 64 = 27. Die Regel hat dir eine große Zahl erspart.
Die Falle: die Basis ändern oder die Regel dort anwenden, wo sie nicht gilt
Ein häufiger Fehler: 2³ · 2⁴ ist nicht 4⁷ (die Basis bleibt, sie wird nicht multipliziert) und nicht 2¹² (Exponenten werden addiert, nicht multipliziert). Es ist 2⁷ = 128, während 4⁷ = 16 384 ist. Ein weiterer Fehler: die Regeln überall anzuwenden. 2³ · 3⁴ hat verschiedene Basen und verschiedene Exponenten, also vereinfacht keine Regel es: Rechne 8 · 81 = 648. Und 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 ist nicht 2⁷: Diese Regeln gelten nur fürs Multiplizieren und Dividieren.
Wo du das außerhalb der Schule siehst: große Zahlen leicht gemacht
Bei Zehnerpotenzen spart die Regel Nullen: 1000 · 10 000 = 10³ · 10⁴ = 10⁷ = 10 000 000, und 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000. Sie hilft auch beim Kopfrechnen: 25² · 4² = (25 · 4)² = 100² = 10 000, viel leichter als 625 · 16. In einem Spiel, in dem sich die Punkte jede Runde verdoppeln, vervielfachen 10 Runden sie mit 2¹⁰ = 1024; weitere 10 Runden vervielfachen erneut, insgesamt 2¹⁰ · 2¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576.
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