Multiplier et diviser des puissances : les règles — 11–13
Même base : on additionne ou on soustrait les exposants. Même exposant : on multiplie ou on divise les bases. Et pourquoi compter les facteurs le prouve.
Quatre règles : même base, même exposant
Même base : quand on multiplie, les exposants s'additionnent ; quand on divise, ils se soustraient (le plus grand moins le plus petit). 2³ × 2⁴ = 2⁷ et 2⁷ : 2³ = 2⁴. Même exposant : l'exposant reste et on multiplie ou on divise les bases. 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³, et 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³, car 12 : 4 est exacte. Il faut la même base ou le même exposant : sans l'un ni l'autre, pas de règle.
Pourquoi les règles marchent : compte les facteurs
Une puissance est une liste de facteurs égaux : il suffit de les compter. 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) : 3 + 4 = 7 facteurs 2, donc 2⁷. Dans 2⁷ : 2³, trois des sept facteurs 2 se simplifient et il en reste 7 − 3 = 4 : 2⁴. Avec le même exposant, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance : 2³ × 5³ = (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10³. Rien ici ne dépend de 2 ni de 5 : les règles valent pour toutes les bases naturelles.
Quatre calculs, une règle pour chacun
(a) Même base, multiplier : 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256. (b) Même base, diviser : 5⁹ : 5⁶ = 5⁹⁻⁶ = 5³ = 125. (c) Même exposant, multiplier : 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. (d) Même exposant, diviser : 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Vérifie (d) sans la règle : 12³ = 1728, 4³ = 64 et 1728 : 64 = 27. La règle t'a évité un grand nombre.
Le piège : changer la base, ou utiliser la règle là où elle ne s'applique pas
Une erreur fréquente : 2³ × 2⁴ n'est pas 4⁷ (la base reste, on ne la multiplie pas) ni 2¹² (les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient pas). C'est 2⁷ = 128, alors que 4⁷ = 16 384. Autre erreur : utiliser les règles partout. 2³ × 3⁴ a des bases et des exposants différents, donc aucune règle ne le simplifie : calcule 8 × 81 = 648. Et 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 n'est pas 2⁷ : ces règles ne valent que pour multiplier et diviser.
Où tu le vois en dehors de l'école : les grands nombres facilement
Avec les puissances de 10, la règle économise des zéros : 1000 × 10 000 = 10³ × 10⁴ = 10⁷ = 10 000 000, et 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000. Elle aide aussi au calcul mental : 25² × 4² = (25 × 4)² = 100² = 10 000, bien plus facile que 625 × 16. Dans un jeu où les points doublent à chaque tour, 10 tours les multiplient par 2¹⁰ = 1024 ; 10 tours de plus multiplient encore, et 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576 au total.
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