Moltiplicare e dividere potenze: le regole — Matematica, 11–13
Stessa base: si sommano o si sottraggono gli esponenti. Stesso esponente: si moltiplicano o si dividono le basi. E perché contare i fattori lo dimostra.
Quattro regole: stessa base, stesso esponente
Stessa base: moltiplicando si sommano gli esponenti; dividendo si sottraggono (il maggiore meno il minore). 2³ × 2⁴ = 2⁷ e 2⁷ : 2³ = 2⁴. Stesso esponente: l'esponente resta e si moltiplicano o si dividono le basi. 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³, e 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³, perché 12 : 4 è esatta. Ci vuole la stessa base o lo stesso esponente: senza nessuno dei due, non c'è regola.
Perché le regole funzionano: conta i fattori
Una potenza è una lista di fattori uguali, quindi basta contarli. 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2): sono 3 + 4 = 7 fattori 2, quindi 2⁷. In 2⁷ : 2³, tre dei sette fattori 2 si semplificano e ne restano 7 − 3 = 4: 2⁴. Con lo stesso esponente l'ordine dei fattori non conta: 2³ × 5³ = (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10³. Niente di tutto ciò dipende da 2 o da 5, quindi le regole valgono per qualsiasi base naturale.
Quattro calcoli, una regola ciascuno
(a) Stessa base, moltiplicare: 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256. (b) Stessa base, dividere: 5⁹ : 5⁶ = 5⁹⁻⁶ = 5³ = 125. (c) Stesso esponente, moltiplicare: 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. (d) Stesso esponente, dividere: 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Verifica la (d) senza la regola: 12³ = 1728, 4³ = 64 e 1728 : 64 = 27. La regola ti ha risparmiato un numero grande.
La trappola: cambiare la base, o usare la regola dove non vale
Un errore frequente: 2³ × 2⁴ non è 4⁷ (la base resta, non si moltiplica) e non è 2¹² (gli esponenti si sommano, non si moltiplicano). È 2⁷ = 128, mentre 4⁷ = 16 384. Un altro errore è usare le regole dappertutto. 2³ × 3⁴ ha basi ed esponenti diversi, quindi nessuna regola lo semplifica: calcola 8 × 81 = 648. E 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 non è 2⁷: queste regole valgono solo per moltiplicare e dividere.
Dove lo vedi fuori dalla scuola: numeri grandi senza fatica
Con le potenze di 10, la regola risparmia zeri: 1000 × 10 000 = 10³ × 10⁴ = 10⁷ = 10 000 000, e 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000. Aiuta anche nel calcolo mentale: 25² × 4² = (25 × 4)² = 100² = 10 000, molto più facile di 625 × 16. In un gioco in cui i punti raddoppiano a ogni turno, 10 turni li moltiplicano per 2¹⁰ = 1024; altri 10 turni moltiplicano ancora, e 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576 in tutto.
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