Multiplicar y dividir potencias: las reglas — Matemáticas, 11–13
Misma base: se suman o se restan los exponentes. Mismo exponente: se multiplican o se dividen las bases. Y por qué contar factores lo demuestra.
Cuatro reglas: misma base, mismo exponente
Misma base: al multiplicar, los exponentes se suman; al dividir, se restan (el mayor menos el menor). 2³ × 2⁴ = 2⁷ y 2⁷ : 2³ = 2⁴. Mismo exponente: el exponente se queda y las bases se multiplican o se dividen. 2³ × 5³ = (2 × 5)³ = 10³, y 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³, porque 12 : 4 es exacta. Tiene que haber base igual o exponente igual: sin ninguno de los dos, no hay regla.
Por qué funcionan las reglas: cuenta los factores
Una potencia es una lista de factores iguales, así que basta contarlos. 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2): son 3 + 4 = 7 factores 2, luego 2⁷. En 2⁷ : 2³, tres de los siete factores 2 se cancelan y quedan 7 − 3 = 4: 2⁴. Con el mismo exponente el orden de los factores no importa: 2³ × 5³ = (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) = 10³. Nada de esto depende del 2 ni del 5, así que las reglas valen para cualesquiera bases naturales.
Cuatro cálculos, una regla en cada uno
(a) Misma base, multiplicar: 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256. (b) Misma base, dividir: 5⁹ : 5⁶ = 5⁹⁻⁶ = 5³ = 125. (c) Mismo exponente, multiplicar: 2⁴ × 5⁴ = (2 × 5)⁴ = 10⁴ = 10 000. (d) Mismo exponente, dividir: 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27. Comprueba la (d) sin la regla: 12³ = 1728, 4³ = 64 y 1728 : 64 = 27. La regla te ahorró un número grande.
La trampa: cambiar la base, o usar la regla donde no vale
Un error frecuente: 2³ × 2⁴ no es 4⁷ (la base se mantiene, no se multiplica) ni 2¹² (los exponentes se suman, no se multiplican). Es 2⁷ = 128, mientras que 4⁷ = 16 384. Otro error es usar las reglas en todo. 2³ × 3⁴ tiene bases y exponentes distintos, así que ninguna regla lo simplifica: calcula 8 × 81 = 648. Y 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24 no es 2⁷: estas reglas son solo para multiplicar y dividir.
Dónde lo ves fuera de la escuela: números grandes sin esfuerzo
Con potencias de base 10, la regla ahorra ceros: 1000 × 10 000 = 10³ × 10⁴ = 10⁷ = 10 000 000, y 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000. También ayuda en el cálculo mental: 25² × 4² = (25 × 4)² = 100² = 10 000, mucho más fácil que 625 × 16. En un juego donde los puntos se duplican cada ronda, 10 rondas los multiplican por 2¹⁰ = 1024; otras 10 rondas multiplican otra vez, y 2¹⁰ × 2¹⁰ = 2²⁰ = 1 048 576 en total.
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