Matemática 7.º ano: Áreas do trapézio, do losango e do papagaio
Matemática, 7.º ano (Portugal): Deduz as fórmulas das áreas do trapézio, do losango e do papagaio a partir de triângulos e paralelogramos que já conheces.
Três fórmulas feitas de figuras que já conheces
O trapézio tem um par de lados paralelos, as bases (a maior B e a menor b); a altura h é a distância entre elas, medida na perpendicular. Área = (B + b) × h ÷ 2. O papagaio e o losango têm duas diagonais perpendiculares, de medidas D e d. Área = D × d ÷ 2. O losango é um papagaio especial, com os quatro lados iguais, por isso a mesma fórmula serve para os dois. Cada fórmula nasce de triângulos ou paralelogramos, cuja área já sabes calcular.
Porque é que as fórmulas funcionam
Trapézio: uma diagonal parte-o em dois triângulos com a mesma altura h, um de base B e outro de base b. Área = B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2. Ou: dois trapézios iguais, um deles rodado meia-volta, formam um paralelogramo de base B + b e altura h, e cada trapézio é metade dele. Papagaio: a diagonal D que é eixo de simetria parte-o em dois triângulos iguais, de base D e altura d ÷ 2, sendo d a outra diagonal. Área = 2 × D × (d ÷ 2) ÷ 2 = D × d ÷ 2. O losango é um papagaio, logo a fórmula serve-lhe também.
Calcular as três áreas com números
Um trapézio tem bases de 10 cm e 6 cm, altura 4 cm e um lado inclinado de 5 cm: A = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Confirmação com triângulos: 10 × 4 ÷ 2 = 20 e 6 × 4 ÷ 2 = 12, e 20 + 12 = 32. Um losango de diagonais 6 cm e 8 cm: A = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Sendo também um paralelogramo de lado 5 cm, tem altura 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Um papagaio de varetas com 90 cm e 60 cm: A = 90 × 60 ÷ 2 = 2700 cm², ou seja, 0,27 m².
A armadilha: usar as medidas que se veem
No trapézio, quem usa o lado inclinado (5 cm) em vez da altura (4 cm) obtém (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm², mas a área é 32 cm²: a altura mede-se na perpendicular. No losango, 6 × 8 = 48 é o dobro da área verdadeira, porque falta o ÷ 2 (48 cm² é a área do retângulo que o rodeia). E 5 × 5 = 25 também falha: o losango está «tombado», a sua altura é 4,8 cm e não 5 cm.
Onde vês isto fora da escola
Um terreno em forma de trapézio, com 30 m e 20 m nos lados paralelos e 12 m entre eles, tem (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 300 m². O tampo de uma mesa em trapézio, com bases de 1,2 m e 0,8 m e 0,5 m de altura, tem (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². Numa peça em losango, como um azulejo ou um vitral, basta medir as duas diagonais para saber quanto material foi preciso.
Testa o que aprendeste
Porque é que a área de um trapézio de bases B e b e altura h é (B + b) × h ÷ 2?
- a) Porque é metade de um retângulo de lados B e b
- b) Dois trapézios iguais, um rodado meia-volta, formam um paralelogramo de base B + b e altura h
- c) Porque se usa a base maior como num triângulo: B × h ÷ 2
Resposta certa: b) Dois trapézios iguais, um rodado meia-volta, formam um paralelogramo de base B + b e altura h — Certo: o paralelogramo tem área (B + b) × h e o trapézio é metade dele. Uma diagonal a parti-lo em dois triângulos dá o mesmo resultado.
Um papagaio tem diagonais de 60 cm e 40 cm, perpendiculares entre si. Qual é a sua área?
- a) 1200 cm²
- b) 2400 cm²
- c) 100 cm²
- d) 50 cm²
Resposta certa: a) 1200 cm² — Certo: 60 × 40 ÷ 2 = 1200 cm².
Um trapézio tem bases de 10 cm e 6 cm, altura de 4 cm e um lado inclinado de 5 cm. A Ana escreveu (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm². Qual é a área correta?
- a) 40 cm²
- b) 64 cm²
- c) 32 cm²
Resposta certa: c) 32 cm² — Certo: (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². O lado inclinado não entra na conta.
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