Matematica classe 7: Aree del trapezio, del rombo e dell'aquilone
Matematica, classe 7 (Portogallo): Ricava le formule delle aree del trapezio, del rombo e dell'aquilone a partire da triangoli e parallelogrammi che già conosci.
Tre formule costruite con figure che già conosci
Il trapezio ha una coppia di lati paralleli, le basi (la maggiore B e la minore b); la sua altezza h è la distanza tra esse, misurata in perpendicolare. Area = (B + b) × h ÷ 2. L'aquilone e il rombo hanno due diagonali perpendicolari, di misure D e d. Area = D × d ÷ 2. Il rombo è un aquilone particolare, con i quattro lati uguali, quindi la stessa formula vale per entrambi. Ogni formula nasce da triangoli o parallelogrammi, di cui sai già calcolare l'area.
Perché le formule funzionano
Trapezio: una diagonale lo divide in due triangoli con la stessa altezza h, uno di base B e uno di base b. Area = B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2. Oppure: due trapezi uguali, uno ruotato di mezzo giro, formano un parallelogramma di base B + b e altezza h, e ogni trapezio ne è la metà. Aquilone: la diagonale D che è asse di simmetria lo divide in due triangoli uguali, di base D e altezza d ÷ 2, dove d è l'altra diagonale. Area = 2 × D × (d ÷ 2) ÷ 2 = D × d ÷ 2. Il rombo è un aquilone, quindi la formula vale anche per lui.
Calcolare le tre aree con i numeri
Un trapezio ha basi di 10 cm e 6 cm, altezza 4 cm e un lato obliquo di 5 cm: A = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Verifica con i triangoli: 10 × 4 ÷ 2 = 20 e 6 × 4 ÷ 2 = 12, e 20 + 12 = 32. Un rombo con diagonali di 6 cm e 8 cm: A = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Essendo anche un parallelogramma di lato 5 cm, ha altezza 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Un aquilone con le due canne di 90 cm e 60 cm: A = 90 × 60 ÷ 2 = 2700 cm², cioè 0,27 m².
La trappola: usare le misure che si vedono
Nel trapezio, chi usa il lato obliquo (5 cm) al posto dell'altezza (4 cm) ottiene (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm², ma l'area è 32 cm²: l'altezza si misura in perpendicolare. Nel rombo, 6 × 8 = 48 è il doppio dell'area vera, perché manca il ÷ 2 (48 cm² è l'area del rettangolo che lo circonda). E anche 5 × 5 = 25 è sbagliato: il rombo è «inclinato», la sua altezza è 4,8 cm e non 5 cm.
Dove lo vedi fuori dalla scuola
Un terreno a forma di trapezio, con 30 m e 20 m sui lati paralleli e 12 m tra essi, misura (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 300 m². Il piano di un tavolo a trapezio, con basi di 1,2 m e 0,8 m e altezza 0,5 m, misura (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². Per un pezzo a rombo, come una piastrella o una vetrata, basta misurare le due diagonali per sapere quanto materiale serve.
Metti alla prova quello che hai imparato
Perché l'area di un trapezio di basi B e b e altezza h è (B + b) × h ÷ 2?
- a) Perché è la metà di un rettangolo di lati B e b
- b) Due trapezi uguali, uno ruotato di mezzo giro, formano un parallelogramma di base B + b e altezza h
- c) Perché si usa la base maggiore come in un triangolo: B × h ÷ 2
Risposta corretta: b) Due trapezi uguali, uno ruotato di mezzo giro, formano un parallelogramma di base B + b e altezza h — Giusto: il parallelogramma ha area (B + b) × h e il trapezio ne è la metà. Una diagonale che lo divide in due triangoli dà lo stesso risultato.
Un aquilone ha diagonali di 60 cm e 40 cm perpendicolari tra loro. Qual è la sua area?
- a) 1200 cm²
- b) 2400 cm²
- c) 100 cm²
- d) 50 cm²
Risposta corretta: a) 1200 cm² — Giusto: 60 × 40 ÷ 2 = 1200 cm².
Un trapezio ha basi di 10 cm e 6 cm, altezza 4 cm e un lato obliquo di 5 cm. Ana ha scritto (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm². Qual è l'area corretta?
- a) 40 cm²
- b) 64 cm²
- c) 32 cm²
Risposta corretta: c) 32 cm² — Giusto: (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Il lato obliquo non entra nel calcolo.
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