Mathematik Klasse 7: Flächeninhalt von Trapez, Raute und Drachenviereck
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Leite die Flächenformeln von Trapez, Raute und Drachenviereck aus Dreiecken und Parallelogrammen her, die du schon kennst.
Drei Formeln aus Figuren, die du schon kennst
Ein Trapez hat ein Paar paralleler Seiten, die Grundseiten (die längere B und die kürzere b); seine Höhe h ist ihr Abstand, senkrecht gemessen. Flächeninhalt = (B + b) × h ÷ 2. Ein Drachenviereck und eine Raute haben zwei senkrecht aufeinander stehende Diagonalen der Längen D und d. Flächeninhalt = D × d ÷ 2. Die Raute ist ein besonderes Drachenviereck mit vier gleich langen Seiten, deshalb gilt dieselbe Formel für beide. Jede Formel entsteht aus Dreiecken oder Parallelogrammen, deren Flächeninhalt du schon kennst.
Warum die Formeln funktionieren
Trapez: Eine Diagonale zerlegt es in zwei Dreiecke mit gleicher Höhe h, eines mit der Grundseite B, eines mit b. Flächeninhalt = B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2. Oder: Zwei gleiche Trapeze, eines um eine halbe Drehung gedreht, ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite B + b und Höhe h; jedes Trapez ist die Hälfte davon. Drachenviereck: Die Diagonale D, die Symmetrieachse ist, zerlegt es in zwei gleiche Dreiecke mit Grundseite D und Höhe d ÷ 2 (d ist die andere Diagonale). Flächeninhalt = 2 × D × (d ÷ 2) ÷ 2 = D × d ÷ 2. Die Raute ist ein Drachenviereck, die Formel gilt also auch für sie.
Die drei Flächen mit Zahlen berechnen
Ein Trapez hat die Grundseiten 10 cm und 6 cm, die Höhe 4 cm und einen schrägen Schenkel von 5 cm: A = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Probe mit Dreiecken: 10 × 4 ÷ 2 = 20 und 6 × 4 ÷ 2 = 12, und 20 + 12 = 32. Eine Raute mit den Diagonalen 6 cm und 8 cm: A = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Als Parallelogramm mit der Seite 5 cm hat sie die Höhe 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Ein Drachen mit zwei Stäben von 90 cm und 60 cm: A = 90 × 60 ÷ 2 = 2700 cm², das sind 0,27 m².
Die Falle: die Maße nehmen, die man sieht
Beim Trapez ergibt der schräge Schenkel (5 cm) statt der Höhe (4 cm) (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm², doch der Flächeninhalt ist 32 cm²: Die Höhe wird senkrecht gemessen. Bei der Raute ist 6 × 8 = 48 das Doppelte des wahren Werts, weil das ÷ 2 fehlt (48 cm² ist der Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks). Auch 5 × 5 = 25 ist falsch: Die Raute ist schief, ihre Höhe beträgt 4,8 cm, nicht 5 cm.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Ein trapezförmiges Grundstück mit parallelen Seiten von 30 m und 20 m und 12 m Abstand hat (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 300 m². Eine trapezförmige Tischplatte mit den Grundseiten 1,2 m und 0,8 m und der Höhe 0,5 m hat (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². Bei einem rautenförmigen Teil, etwa einer Fliese oder einer Glasscheibe, genügt es, die beiden Diagonalen zu messen, um den Materialbedarf zu kennen.
Teste, was du gelernt hast
Warum ist der Flächeninhalt eines Trapezes mit den Grundseiten B und b und der Höhe h gleich (B + b) × h ÷ 2?
- a) Weil es die Hälfte eines Rechtecks mit den Seiten B und b ist
- b) Zwei gleiche Trapeze, eines um eine halbe Drehung gedreht, ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite B + b und Höhe h
- c) Weil man wie beim Dreieck die längere Grundseite nimmt: B × h ÷ 2
Richtige Antwort: b) Zwei gleiche Trapeze, eines um eine halbe Drehung gedreht, ergeben ein Parallelogramm mit Grundseite B + b und Höhe h — Richtig: Das Parallelogramm hat den Flächeninhalt (B + b) × h, das Trapez ist die Hälfte davon. Eine Diagonale, die es in zwei Dreiecke zerlegt, liefert dasselbe.
Ein Drachenviereck hat zueinander senkrechte Diagonalen von 60 cm und 40 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt?
- a) 1200 cm²
- b) 2400 cm²
- c) 100 cm²
- d) 50 cm²
Richtige Antwort: a) 1200 cm² — Richtig: 60 × 40 ÷ 2 = 1200 cm².
Ein Trapez hat die Grundseiten 10 cm und 6 cm, die Höhe 4 cm und einen schrägen Schenkel von 5 cm. Ana schrieb (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt wirklich?
- a) 40 cm²
- b) 64 cm²
- c) 32 cm²
Richtige Antwort: c) 32 cm² — Richtig: (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Der schräge Schenkel spielt in der Rechnung keine Rolle.
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