Matemáticas 7.º curso: Áreas del trapecio, del rombo y del deltoide
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Deduce las fórmulas de las áreas del trapecio, del rombo y del deltoide a partir de triángulos y paralelogramos que ya conoces.
Tres fórmulas hechas con figuras que ya conoces
El trapecio tiene un par de lados paralelos, las bases (la mayor B y la menor b); su altura h es la distancia entre ellas, medida en perpendicular. Área = (B + b) × h ÷ 2. El deltoide y el rombo tienen dos diagonales que se cortan en ángulo recto, de medidas D y d. Área = D × d ÷ 2. El rombo es un deltoide especial, con los cuatro lados iguales, y por eso la misma fórmula sirve para los dos. Cada fórmula nace de triángulos o paralelogramos, cuya área ya sabes calcular.
Por qué funcionan las fórmulas
Trapecio: una diagonal lo parte en dos triángulos con la misma altura h, uno de base B y otro de base b. Área = B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2. O bien: dos trapecios iguales, uno de ellos girado media vuelta, forman un paralelogramo de base B + b y altura h, y cada trapecio es la mitad. Deltoide: la diagonal D que es eje de simetría lo parte en dos triángulos iguales, de base D y altura d ÷ 2, siendo d la otra diagonal. Área = 2 × D × (d ÷ 2) ÷ 2 = D × d ÷ 2. El rombo es un deltoide, así que también le sirve.
Calcular las tres áreas con números
Un trapecio tiene bases de 10 cm y 6 cm, altura de 4 cm y un lado inclinado de 5 cm: A = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Comprobación con triángulos: 10 × 4 ÷ 2 = 20 y 6 × 4 ÷ 2 = 12, y 20 + 12 = 32. Un rombo de diagonales 6 cm y 8 cm: A = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Como también es un paralelogramo de lado 5 cm, su altura es 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Un deltoide con diagonales de 90 cm y 60 cm, como una cometa con dos varillas: A = 90 × 60 ÷ 2 = 2700 cm², es decir, 0,27 m².
La trampa: usar las medidas que se ven
En el trapecio, quien usa el lado inclinado (5 cm) en lugar de la altura (4 cm) obtiene (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm², pero el área es 32 cm²: la altura se mide en perpendicular. En el rombo, 6 × 8 = 48 es el doble del área verdadera, porque falta el ÷ 2 (48 cm² es el área del rectángulo que lo rodea). Y 5 × 5 = 25 también falla: el rombo está «inclinado», su altura es 4,8 cm y no 5 cm.
Dónde lo ves fuera de la escuela
Un terreno con forma de trapecio, con 30 m y 20 m en los lados paralelos y 12 m entre ellos, tiene (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 300 m². El tablero de una mesa en trapecio, con bases de 1,2 m y 0,8 m y 0,5 m de altura, tiene (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². En una pieza en forma de rombo, como un azulejo o una vidriera, basta medir las dos diagonales para saber cuánto material hizo falta.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Por qué el área de un trapecio de bases B y b y altura h es (B + b) × h ÷ 2?
- a) Porque es la mitad de un rectángulo de lados B y b
- b) Dos trapecios iguales, uno girado media vuelta, forman un paralelogramo de base B + b y altura h
- c) Porque se usa la base mayor como en un triángulo: B × h ÷ 2
Respuesta correcta: b) Dos trapecios iguales, uno girado media vuelta, forman un paralelogramo de base B + b y altura h — Correcto: el paralelogramo tiene área (B + b) × h y el trapecio es la mitad. Una diagonal que lo parta en dos triángulos da el mismo resultado.
Un deltoide tiene diagonales de 60 cm y 40 cm que se cortan en ángulo recto. ¿Cuál es su área?
- a) 1200 cm²
- b) 2400 cm²
- c) 100 cm²
- d) 50 cm²
Respuesta correcta: a) 1200 cm² — Correcto: 60 × 40 ÷ 2 = 1200 cm².
Un trapecio tiene bases de 10 cm y 6 cm, altura de 4 cm y un lado inclinado de 5 cm. Ana escribió (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm². ¿Cuál es el área correcta?
- a) 40 cm²
- b) 64 cm²
- c) 32 cm²
Respuesta correcta: c) 32 cm² — Correcto: (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². El lado inclinado no entra en la cuenta.
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