Mathématiques 7e année : Aires du trapèze, du losange et du cerf-volant
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Déduis les formules d'aire du trapèze, du losange et du cerf-volant à partir de triangles et de parallélogrammes que tu connais déjà.
Trois formules construites avec des figures que tu connais
Le trapèze a une paire de côtés parallèles, les bases (la grande B et la petite b) ; sa hauteur h est la distance entre elles, mesurée à angle droit. Aire = (B + b) × h ÷ 2. Le cerf-volant et le losange ont deux diagonales perpendiculaires, de longueurs D et d. Aire = D × d ÷ 2. Le losange est un cerf-volant particulier, à quatre côtés égaux : la même formule sert donc pour les deux. Chaque formule vient de triangles ou de parallélogrammes dont tu sais déjà calculer l'aire.
Pourquoi les formules marchent
Trapèze : une diagonale le coupe en deux triangles de même hauteur h, l'un de base B et l'autre de base b. Aire = B × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 = (B + b) × h ÷ 2. Ou : deux trapèzes identiques, l'un retourné d'un demi-tour, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h, et chaque trapèze en est la moitié. Cerf-volant : la diagonale D, axe de symétrie, le coupe en deux triangles égaux de base D et de hauteur d ÷ 2, d étant l'autre diagonale. Aire = 2 × D × (d ÷ 2) ÷ 2 = D × d ÷ 2. Le losange est un cerf-volant : la formule lui va aussi.
Calculer les trois aires avec des nombres
Un trapèze a des bases de 10 cm et 6 cm, une hauteur de 4 cm et un côté oblique de 5 cm : A = (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Vérification avec des triangles : 10 × 4 ÷ 2 = 20 et 6 × 4 ÷ 2 = 12, et 20 + 12 = 32. Un losange de diagonales 6 cm et 8 cm : A = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Comme c'est aussi un parallélogramme de côté 5 cm, sa hauteur est 24 ÷ 5 = 4,8 cm. Un cerf-volant dont les deux baguettes mesurent 90 cm et 60 cm : A = 90 × 60 ÷ 2 = 2700 cm², soit 0,27 m².
Le piège : utiliser les mesures qu'on voit
Dans le trapèze, celui qui prend le côté oblique (5 cm) à la place de la hauteur (4 cm) trouve (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm², mais l'aire vaut 32 cm² : la hauteur se mesure à angle droit. Dans le losange, 6 × 8 = 48 est le double de la vraie aire, car il manque le ÷ 2 (48 cm² est l'aire du rectangle qui l'entoure). Et 5 × 5 = 25 est faux aussi : le losange est « penché », sa hauteur est 4,8 cm et non 5 cm.
Où tu vois ça hors de l'école
Un terrain en forme de trapèze, avec 30 m et 20 m sur les côtés parallèles et 12 m entre eux, mesure (30 + 20) × 12 ÷ 2 = 300 m². Le plateau d'une table en trapèze, de bases 1,2 m et 0,8 m et de hauteur 0,5 m, mesure (1,2 + 0,8) × 0,5 ÷ 2 = 0,5 m². Pour une pièce en losange, comme un carreau ou un vitrail, mesurer les deux diagonales suffit pour savoir la quantité de matériau nécessaire.
Teste ce que tu as appris
Pourquoi l'aire d'un trapèze de bases B et b et de hauteur h vaut-elle (B + b) × h ÷ 2 ?
- a) Parce que c'est la moitié d'un rectangle de côtés B et b
- b) Deux trapèzes identiques, l'un retourné d'un demi-tour, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h
- c) Parce qu'on prend la grande base comme dans un triangle : B × h ÷ 2
Bonne réponse: b) Deux trapèzes identiques, l'un retourné d'un demi-tour, forment un parallélogramme de base B + b et de hauteur h — Exact : le parallélogramme a pour aire (B + b) × h et le trapèze en est la moitié. Une diagonale qui le coupe en deux triangles donne le même résultat.
Un cerf-volant a des diagonales de 60 cm et 40 cm perpendiculaires. Quelle est son aire ?
- a) 1200 cm²
- b) 2400 cm²
- c) 100 cm²
- d) 50 cm²
Bonne réponse: a) 1200 cm² — Exact : 60 × 40 ÷ 2 = 1200 cm².
Un trapèze a des bases de 10 cm et 6 cm, une hauteur de 4 cm et un côté oblique de 5 cm. Ana a écrit (10 + 6) × 5 ÷ 2 = 40 cm². Quelle est l'aire correcte ?
- a) 40 cm²
- b) 64 cm²
- c) 32 cm²
Bonne réponse: c) 32 cm² — Exact : (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32 cm². Le côté oblique n'intervient pas dans le calcul.
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