Matemática 7.º ano: O que é um número racional, e o conjunto ℚ
Matemática, 7.º ano (Portugal): Um número racional é um inteiro sobre um inteiro diferente de zero, positivo ou negativo; ℚ inclui os inteiros e as frações e os decimais que já conheces, agora com sinal.
Um inteiro sobre um inteiro
Já conheces frações como 3/4 e inteiros como −2. Um número racional é qualquer número que se pode escrever como uma fração com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de 0. Pode ser positivo, como 3/4, ou negativo, como −3/4, o simétrico de 3/4. O zero também é racional (0 = 0/1) e não é positivo nem negativo. Todos os números racionais juntos formam o conjunto ℚ.
Um conjunto que os guarda a todos
Só com os números naturais não consegues dizer «desceu abaixo de zero»; só com inteiros não consegues dizer «meio grau». Os racionais resolvem as duas coisas: medem em partes e têm sinal. E não substituem o que já sabes, contêm-no: todo o número natural é inteiro e todo o inteiro é racional, ou seja, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Um inteiro n é racional porque n = n/1, e um decimal como 0,6 é 6/10.
Transformar números em frações
Mostra que −5, 0,6 e −1,25 são racionais. Passo 1: −5 = −5/1, um inteiro sobre 1. Passo 2: 0,6 = 6/10 = 3/5, dividindo o numerador e o denominador por 2. Passo 3: −1,25 = −125/100 e, dividindo ambos por 25, fica −5/4. Passo 4: onde vivem? −5 está em ℤ e em ℚ; 0,6 e −5/4 estão em ℚ mas não em ℤ, porque ficam entre dois inteiros consecutivos.
«Não tem traço de fração, logo não é racional»
Muita gente pensa que ℤ e ℚ são duas caixas separadas: «−3 é inteiro, logo não pode ser racional», ou «racionais são só os que têm traço de fração ou vírgula». Está errado: ℤ está dentro de ℚ. O que conta não é a forma como o número aparece, mas se o consegues escrever como um inteiro sobre um inteiro diferente de 0: −3 = −3/1 = −6/2. Pergunta a ti próprio: «consigo escrevê-lo como fração de inteiros?» Se sim, é racional.
Onde se escondem os racionais negativos
Os racionais negativos aparecem sempre que uma coisa pode ficar abaixo de uma referência: uma temperatura de −3,5 °C, um mergulhador a −7,5 m quando a superfície da água é o 0, um extrato bancário com saldo de −12,50 €. Em todos, o 0 é a referência e o sinal diz de que lado dela estás: −7,5 m e 7,5 m são situações opostas. Os números não são inteiros porque as quantidades reais raramente são: meio grau, um quarto de metro.
Testa o que aprendeste
O que tem de acontecer para um número ser racional?
- a) Tem de estar escrito com vírgula ou com traço de fração.
- b) Pode escrever-se como fração com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de 0.
- c) Tem de ser positivo, porque uma fração conta partes de um todo.
- d) Tem de estar entre 0 e 1.
Resposta certa: b) Pode escrever-se como fração com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de 0. — Sim, é a definição. Também admite negativos: 3/4, −3/4, 5 = 5/1 e 0,6 = 6/10 são todos racionais.
Que fração, com numerador e denominador inteiros, é igual ao número racional −2,4?
- a) −12/5
- b) −2/4
- c) −5/12
- d) 12/5
Resposta certa: a) −12/5 — Sim: −2,4 = −24/10 e, dividindo ambos por 2, fica −12/5. Confirmação: 12 ÷ 5 = 2,4, com o sinal de menos.
A Rita diz: «−3 não é um número racional, porque não tem traço de fração.» Qual é a resposta certa?
- a) Tem razão: um número racional precisa sempre de traço de fração ou de vírgula.
- b) Tem razão: −3 é inteiro, e os inteiros não são racionais.
- c) Não tem razão, mas só os inteiros positivos, como o 3, são racionais.
- d) Não tem razão: −3 = −3/1 é um inteiro sobre um inteiro diferente de 0, por isso é racional (ℤ está dentro de ℚ).
Resposta certa: d) Não tem razão: −3 = −3/1 é um inteiro sobre um inteiro diferente de 0, por isso é racional (ℤ está dentro de ℚ). — Sim. O que conta é poder escrever o número como um inteiro sobre um inteiro diferente de 0, e −3 = −3/1 = −6/2 pode.
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