Mathématiques 7e année : Ce qu'est un nombre rationnel, et l'ensemble ℚ
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Un nombre rationnel est un entier sur un entier non nul, positif ou négatif ; ℚ contient les entiers et les fractions et décimaux que tu connais, maintenant avec un signe.
Un entier sur un entier
Tu connais déjà des fractions comme 3/4 et des entiers relatifs comme −2. Un nombre rationnel est un nombre qu'on peut écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur est un entier relatif et le dénominateur un entier relatif différent de 0. Il peut être positif, comme 3/4, ou négatif, comme −3/4, l'opposé de 3/4. Zéro est aussi rationnel (0 = 0/1) et n'est ni positif ni négatif. Tous les nombres rationnels forment l'ensemble ℚ.
Un ensemble qui les contient tous
Avec les seuls nombres naturels, tu ne peux pas dire « il est descendu sous zéro » ; avec les seuls entiers relatifs, tu ne peux pas dire « un demi-degré ». Les rationnels règlent les deux problèmes : ils mesurent en parties et ils ont un signe. Ils ne remplacent pas ce que tu sais, ils le contiennent : tout naturel est un entier relatif et tout entier relatif est rationnel, c'est-à-dire ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Un entier n est rationnel car n = n/1, et un décimal comme 0,6 vaut 6/10.
Transformer des nombres en fractions
Montre que −5, 0,6 et −1,25 sont rationnels. Étape 1 : −5 = −5/1, un entier sur 1. Étape 2 : 0,6 = 6/10 = 3/5, en divisant numérateur et dénominateur par 2. Étape 3 : −1,25 = −125/100 et, en divisant les deux par 25, on obtient −5/4. Étape 4 : où vivent-ils ? −5 est dans ℤ et dans ℚ ; 0,6 et −5/4 sont dans ℚ mais pas dans ℤ, car ils sont entre deux entiers consécutifs.
« Pas de barre de fraction, donc pas rationnel »
Beaucoup imaginent ℤ et ℚ comme deux boîtes séparées : « −3 est un entier, donc il ne peut pas être rationnel », ou « les rationnels sont seulement ceux qui ont une barre de fraction ou une virgule ». C'est faux : ℤ est à l'intérieur de ℚ. Ce qui compte, ce n'est pas l'apparence du nombre, mais de pouvoir l'écrire comme un entier sur un entier non nul : −3 = −3/1 = −6/2. Demande-toi : « puis-je l'écrire comme fraction d'entiers ? » Si oui, il est rationnel.
Où se cachent les rationnels négatifs
Les rationnels négatifs apparaissent dès qu'une grandeur peut passer sous une référence : une température de −3,5 °C, un plongeur à −7,5 m quand la surface de l'eau est le 0, un relevé bancaire avec un solde de −12,50 €. Partout, 0 est la référence et le signe dit de quel côté tu te trouves : −7,5 m et 7,5 m sont des situations opposées. Ces nombres ne sont pas entiers parce que les grandeurs réelles le sont rarement : un demi-degré, un quart de mètre.
Teste ce que tu as appris
Que faut-il pour qu'un nombre soit rationnel ?
- a) Il doit être écrit avec une virgule ou une barre de fraction.
- b) On peut l'écrire comme une fraction de numérateur entier relatif et de dénominateur entier relatif non nul.
- c) Il doit être positif, car une fraction compte des parts d'un tout.
- d) Il doit être compris entre 0 et 1.
Bonne réponse: b) On peut l'écrire comme une fraction de numérateur entier relatif et de dénominateur entier relatif non nul. — Oui, c'est la définition. Elle admet aussi les négatifs : 3/4, −3/4, 5 = 5/1 et 0,6 = 6/10 sont tous rationnels.
Quelle fraction, de numérateur et dénominateur entiers, est égale au nombre rationnel −2,4 ?
- a) −12/5
- b) −2/4
- c) −5/12
- d) 12/5
Bonne réponse: a) −12/5 — Oui : −2,4 = −24/10 et, en divisant les deux par 2, on obtient −12/5. Vérification : 12 ÷ 5 = 2,4, avec le signe moins.
Rita dit : « −3 n'est pas un nombre rationnel, car il n'a pas de barre de fraction. » Quelle est la bonne réponse ?
- a) Elle a raison : un nombre rationnel a toujours besoin d'une barre de fraction ou d'une virgule.
- b) Elle a raison : −3 est un entier relatif, et les entiers ne sont pas rationnels.
- c) Elle a tort, mais seuls les entiers positifs, comme 3, sont rationnels.
- d) Elle a tort : −3 = −3/1 est un entier sur un entier non nul, donc il est rationnel (ℤ est dans ℚ).
Bonne réponse: d) Elle a tort : −3 = −3/1 est un entier sur un entier non nul, donc il est rationnel (ℤ est dans ℚ). — Oui. Ce qui compte, c'est de pouvoir écrire le nombre comme un entier sur un entier non nul, et −3 = −3/1 = −6/2 le peut.
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