Matemáticas 7.º curso: Qué es un número racional, y el conjunto ℚ
Matemáticas, 7.º curso (Portugal): Un número racional es un entero sobre un entero distinto de cero, positivo o negativo; ℚ incluye los enteros y las fracciones y decimales que ya conoces, ahora con signo.
Un entero sobre un entero
Ya conoces fracciones como 3/4 y enteros como −2. Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una fracción con numerador entero y denominador entero distinto de 0. Puede ser positivo, como 3/4, o negativo, como −3/4, el opuesto de 3/4. El cero también es racional (0 = 0/1) y no es ni positivo ni negativo. Todos los números racionales juntos forman el conjunto ℚ.
Un conjunto que los guarda a todos
Solo con números naturales no puedes decir «bajó de cero»; solo con enteros no puedes decir «medio grado». Los racionales resuelven las dos cosas: miden en partes y tienen signo. Y no sustituyen lo que ya sabes, lo contienen: todo número natural es entero y todo entero es racional, es decir, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Un entero n es racional porque n = n/1, y un decimal como 0,6 es 6/10.
Convertir números en fracciones
Demuestra que −5, 0,6 y −1,25 son racionales. Paso 1: −5 = −5/1, un entero sobre 1. Paso 2: 0,6 = 6/10 = 3/5, dividiendo numerador y denominador entre 2. Paso 3: −1,25 = −125/100 y, dividiendo ambos entre 25, queda −5/4. Paso 4: ¿dónde viven? −5 está en ℤ y en ℚ; 0,6 y −5/4 están en ℚ pero no en ℤ, porque quedan entre dos enteros consecutivos.
«No tiene raya de fracción, luego no es racional»
Mucha gente imagina ℤ y ℚ como dos cajas separadas: «−3 es entero, así que no puede ser racional», o «los racionales son solo los que tienen raya de fracción o coma». Es un error: ℤ está dentro de ℚ. Lo que cuenta no es el aspecto del número, sino si puedes escribirlo como un entero sobre un entero distinto de 0: −3 = −3/1 = −6/2. Pregúntate: «¿puedo escribirlo como fracción de enteros?» Si es que sí, es racional.
Dónde se esconden los racionales negativos
Los racionales negativos aparecen siempre que algo puede quedar por debajo de una referencia: una temperatura de −3,5 °C, un buceador a −7,5 m cuando la superficie del agua es el 0, un extracto bancario con saldo de −12,50 €. En todos, el 0 es la referencia y el signo dice de qué lado estás: −7,5 m y 7,5 m son situaciones opuestas. Los números no son enteros porque las cantidades reales rara vez lo son: medio grado, un cuarto de metro.
Pon a prueba lo que has aprendido
¿Qué tiene que cumplir un número para ser racional?
- a) Tiene que estar escrito con coma o con raya de fracción.
- b) Se puede escribir como fracción con numerador entero y denominador entero distinto de 0.
- c) Tiene que ser positivo, porque una fracción cuenta partes de un todo.
- d) Tiene que estar entre 0 y 1.
Respuesta correcta: b) Se puede escribir como fracción con numerador entero y denominador entero distinto de 0. — Sí, esa es la definición. Admite también negativos: 3/4, −3/4, 5 = 5/1 y 0,6 = 6/10 son todos racionales.
¿Qué fracción, con numerador y denominador enteros, es igual al número racional −2,4?
- a) −12/5
- b) −2/4
- c) −5/12
- d) 12/5
Respuesta correcta: a) −12/5 — Sí: −2,4 = −24/10 y, dividiendo ambos entre 2, queda −12/5. Comprobación: 12 ÷ 5 = 2,4, con el signo menos.
Rita dice: «−3 no es un número racional, porque no tiene raya de fracción». ¿Cuál es la respuesta correcta?
- a) Tiene razón: un número racional siempre necesita raya de fracción o coma.
- b) Tiene razón: −3 es entero, y los enteros no son racionales.
- c) No tiene razón, pero solo los enteros positivos, como el 3, son racionales.
- d) No tiene razón: −3 = −3/1 es un entero sobre un entero distinto de 0, así que es racional (ℤ está dentro de ℚ).
Respuesta correcta: d) No tiene razón: −3 = −3/1 es un entero sobre un entero distinto de 0, así que es racional (ℤ está dentro de ℚ). — Sí. Lo que cuenta es poder escribir el número como un entero sobre un entero distinto de 0, y −3 = −3/1 = −6/2 se puede.
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