Mathematik Klasse 7: Was eine rationale Zahl ist, und die Menge ℚ
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine rationale Zahl ist eine ganze Zahl über einer ganzen Zahl ungleich null, positiv oder negativ; ℚ enthält die ganzen Zahlen sowie die Brüche und Dezimalzahlen, die du kennst, jetzt mit Vorzeichen.
Eine ganze Zahl über einer ganzen Zahl
Brüche wie 3/4 und ganze Zahlen wie −2 kennst du schon. Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, dessen Zähler eine ganze Zahl und dessen Nenner eine ganze Zahl ungleich 0 ist. Sie kann positiv sein, wie 3/4, oder negativ, wie −3/4, die Gegenzahl von 3/4. Auch die Null ist rational (0 = 0/1) und weder positiv noch negativ. Alle rationalen Zahlen zusammen bilden die Menge ℚ.
Eine Menge, die alle enthält
Mit natürlichen Zahlen allein kannst du nicht sagen „es ist unter null gefallen“; mit ganzen Zahlen allein nicht „ein halbes Grad“. Die rationalen Zahlen lösen beides: Sie messen in Teilen und haben ein Vorzeichen. Und sie ersetzen nicht, was du kennst, sie enthalten es: Jede natürliche Zahl ist ganz und jede ganze Zahl ist rational, also ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Eine ganze Zahl n ist rational, weil n = n/1, und eine Dezimalzahl wie 0,6 ist 6/10.
Zahlen in Brüche verwandeln
Zeige, dass −5, 0,6 und −1,25 rational sind. Schritt 1: −5 = −5/1, eine ganze Zahl über 1. Schritt 2: 0,6 = 6/10 = 3/5, Zähler und Nenner durch 2 geteilt. Schritt 3: −1,25 = −125/100, und durch 25 gekürzt ergibt das −5/4. Schritt 4: Wo liegen sie? −5 liegt in ℤ und in ℚ; 0,6 und −5/4 liegen in ℚ, aber nicht in ℤ, weil sie zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegen.
„Kein Bruchstrich, also nicht rational“
Viele stellen sich ℤ und ℚ als zwei getrennte Kisten vor: „−3 ist ganz, also kann es nicht rational sein“ oder „rational sind nur Zahlen mit Bruchstrich oder Komma“. Falsch: ℤ liegt in ℚ. Es zählt nicht, wie eine Zahl aussieht, sondern ob du sie als ganze Zahl über einer ganzen Zahl ungleich 0 schreiben kannst: −3 = −3/1 = −6/2. Frag dich: „Kann ich sie als Bruch aus ganzen Zahlen schreiben?“ Wenn ja, ist sie rational.
Wo negative rationale Zahlen stecken
Negative rationale Zahlen tauchen überall auf, wo etwas unter einen Bezugswert fallen kann: eine Temperatur von −3,5 °C, ein Taucher in −7,5 m, wenn die Wasseroberfläche 0 ist, ein Kontoauszug mit dem Saldo −12,50 €. Überall ist 0 der Bezugswert und das Vorzeichen sagt, auf welcher Seite du dich befindest: −7,5 m und 7,5 m sind gegensätzliche Situationen. Die Zahlen sind nicht ganz, weil echte Größen es selten sind: ein halbes Grad, ein Viertelmeter.
Teste, was du gelernt hast
Was muss gelten, damit eine Zahl rational ist?
- a) Es muss mit Komma oder Bruchstrich geschrieben sein.
- b) Sie lässt sich als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner ungleich 0 schreiben.
- c) Sie muss positiv sein, weil ein Bruch Teile eines Ganzen zählt.
- d) Sie muss zwischen 0 und 1 liegen.
Richtige Antwort: b) Sie lässt sich als Bruch mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner ungleich 0 schreiben. — Ja, das ist die Definition. Sie erlaubt auch negative Zahlen: 3/4, −3/4, 5 = 5/1 und 0,6 = 6/10 sind alle rational.
Welcher Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner ist gleich der rationalen Zahl −2,4?
- a) −12/5
- b) −2/4
- c) −5/12
- d) 12/5
Richtige Antwort: a) −12/5 — Ja: −2,4 = −24/10, und beide durch 2 geteilt ergibt −12/5. Probe: 12 ÷ 5 = 2,4, mit dem Minuszeichen.
Rita sagt: „−3 ist keine rationale Zahl, weil es keinen Bruchstrich hat.“ Was ist die richtige Antwort?
- a) Sie hat recht: Eine rationale Zahl braucht immer einen Bruchstrich oder ein Komma.
- b) Sie hat recht: −3 ist ganz, und ganze Zahlen sind nicht rational.
- c) Sie irrt, aber nur die positiven ganzen Zahlen wie 3 sind rational.
- d) Sie irrt: −3 = −3/1 ist eine ganze Zahl über einer ganzen Zahl ungleich 0, also rational (ℤ liegt in ℚ).
Richtige Antwort: d) Sie irrt: −3 = −3/1 ist eine ganze Zahl über einer ganzen Zahl ungleich 0, also rational (ℤ liegt in ℚ). — Ja. Es zählt, ob man die Zahl als ganze Zahl über einer ganzen Zahl ungleich 0 schreiben kann, und −3 = −3/1 = −6/2 geht.
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